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Triangoli di Kobon (problema dei)

Geometria  Matematica combinatoria  Problemi 

Il problema proposto da Kobon Fujimura nel 1981 consiste nello stabilire il numero massimo di triangoli non sovrapposti ottenibili dall’intersezione di n rette.

La figura seguente mostra i massimi ottenibili fino a 6 rette.

 

Raffigurazione del massimo numero di triangoli non sovrapposti ottenibili con 3 e 4 rette

Raffigurazione del massimo numero di triangoli non sovrapposti ottenibili con 5 e 6 rette

 

Saburo Tamura dimostrò che il numero massimo di triangoli non supera Massimo intero non superiore a n * (n – 2) / 3; nel 2007 Johannes Bader e Gilles Clément dimostrarono che il numero massimo di triangoli non supera:

  • (n^2 – 2 * n – 3) / 3, se n ≡ 0, 2 mod 6;

  • (n^2 – 2 * n – 2) / 3, se n ≡ 1, 4 mod 6;

  • n * (n – 2) / 3, se n ≡ 3, 5 mod 6;

In pratica il limite superiore dimostrato da Bader e Clément è inferiore di uno a quello di Saburo se n è multiplo di 6 o della forma 6k + 2.

 

La tabella seguente mostra i migliori risultati noti per n fino a 10.

n

Limite superiore

Miglior risultato noto

0

0

0

1

0

0

2

0

0

3

1

1

4

2

2

5

5

5

6

7

7

7

11

11

8

15

16

9

21

21

10

26

25 (Grünbaum)

11

33

32 (S. Honma)

12

39

38 (Kabanovitch, 1999)

13

47

47 (Kabanovitch, 1999)

14

55

53 (J. Bader)

15

65

65 (Toshitaka Suzuki, 2005)

16

74

72 (J. Bader e G. Clément, 2007)

17

85

85 (J. Bader e G. Clément, 2007)

18

95

93 (J. Bader e G. Clément, 2007)

19

107

104 (J. Bader e G. Clément, 2007)

20

119

115 (J. Bader e G. Clément, 2007)

21

133

130 (J. Bader e G. Clément, 2007)

 

Come si vede il limite superiore dimostrato è stato raggiunto solo per n fino a 9 e n uguale a 13, 15 o 17.

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