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Sendow (congettura di)

Analisi  Congetture 

La congettura proposta da Blagovest Hristov Sendov intorno al 1958 afferma che se P(z) è un polinomio a coefficienti complessi di grado maggiore di 1 con tutte le radici nel cerchio di raggio 1 centrato sull’origine, ogni radice dista al massimo 1 da un punto nel quale si annulla la derivata di P.

La congettura apparve per la prima volta nel 1967 in Research Problems in Function Theory (Walter Hayman), erroneamente attribuita al matematico bulgaro Ljubomir Illief.

 

La congettura è ritenuta vera, anche perché il teorema di Lucas – Gauss garantisce che in questo caso tutti gli zeri delle derivate stanno nell’inviluppo convesso delle radici e quindi nel cerchio di raggio 1 centrato nell’origine.

 

La congettura è stata dimostrata in vari casi particolari:

  • per le radici con modulo uguale a 1 (Z. Rubinstein, 1968);

  • per polinomi nei quali gli estremi dell’inviluppo complesso delle radici si trovano sulla circonferenza di raggio 1 centrata sull’origine (G. Schmeisser, 1969);

  • per polinomi di grado fino a 5 (Meir e Sharma, 1969);

  • per polinomi di grado 6 (Brown, 1991);

  • per polinomi di grado 7 (Borcea, 1996);

  • per polinomi con al massimo 8 zeri distinti (J.E. Brown e G. Xiang, 1999);

  • per polinomi con radici e radici delle derivate reali (Q.I. Rahman e G. Schmeisser, 2002);

 

Nel 2011 Jérôme Dégot dimostrò che il teorema vale per polinomi di grado maggiore di un numero che dipende dalla radice considerata e dal grado del polinomio.

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