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Mattone razionale (problema del)

Geometria  Problemi  Teoria dei numeri 

Il problema del mattone razionale consiste nel trovare le dimensione di un parallelepipedo rettangolo che abbia spigoli, diagonali delle facce e diagonale interna razionali. Dato che moltiplicando tutte le lunghezze per il minimo comune multiplo dei denominatori le stesse diventano intere, il problema viene comunemente espresso in termini di interi, anziché di razionali.

Non si conosce alcuna soluzione del problema nella forma completa, ma nessuno ha neppure dimostrato che sia impossibile.

Esistono invece varie soluzioni se si rinuncia a uno dei requisiti, ovvero si accetta che non sia intero uno spigolo o una diagonale di una faccia o la diagonale interna.

 

Se si rinuncia al requisito che la diagonale interna sia intera, la soluzione minima, pubblicata da P. Halcke nel 1719, ha spigoli 44, 117 e 240.

Eulero dimostrò che se x, y e z sono gli spigoli interi di un parallelepipedo rettangolo con diagonali delle facce intere, xy, xz e yz sono spigoli di un altro parallelepipedo rettangolo con le stesse caratteristiche, detto “derivato” dal primo.

Esistono varie soluzioni parametriche al problema in questa forma, capaci ciascuna di generare infinite soluzioni, ma nessuna soluzione parametrica nota permette di ottenere tutte le soluzioni possibili.

Per esempio, prendendo x = 2ab(3a2b2)(3b2a2), y = 8ab(a4b4) e z = (a2b2)(a2 + 4ab + b2) (a2 – 4ab + b2), con a e b primi tra loro, l’uno pari e l’altro dispari, si ottengono infinite soluzioni con diagonali delle facce uguali a 2ab(5a2 – 6ab + 5b2), (a2 + b2)3 e a6 + 17a4b2 – 17a2b4b6, come scoprì N. Saunderson intorno al 1740, anche se i parallelepipedi così ottenuti sono noti come “cuboidi di Eulero”.

Nel 1972 W.G. Spohn dimostrò che nessuno dei parallelepipedi generati in questo modo ha la diagonale interna intera; nel 1977 E.Z. Chein dimostrò che lo stesso vale per tutti i parallelepipedi derivati da questi.

 

Se si rinuncia a uno spigolo, per rendere intera la diagonale interna (e quindi si accetta che siano irrazionali anche il volume e la superficie totale), la soluzione col minimo spigolo ha spigoli 124, 957 e sqrt(12852800) = 120 * sqrt(962), diagonali delle facce 965, 3724 e 3843 e diagonale interna 3845; quella col minimo volume ha spigoli 520, 576 e sqrt(618849) = 3 * sqrt(68761), diagonali delle facce 776, 943 e 975 e diagonale interna 1105. In questa forma il problema fu posto nel 1949 sul Journal of the Assistant Master’s association.

Anche in questo caso esistono soluzioni parametriche, con le quali si possono generare infinite soluzioni, ma non tutte. Per esempio, prendendo x = 4ab(a2b2)2(a2 + b2), y = 8a2b2(a4b4) e z = sqrt((a^4 – 4 * a * b^3 – b^4) * (a^4 + 4 * a * b^3 – b^4) * (a^4 – 4 * a^3 * b – b^4) * (a^4 + 4 * a^3 * b – b^4)) = 3 * sqrt(68761), con a e b primi tra loro, l’uno pari e l’altro dispari, si ottiene una soluzione con diagonali delle facce uguali a 4ab(a2b2)(a2 + b2)2, a8 – 18a4b4 + b8 e a8 – 8a6b2 – 2a4b4 – 8a2b6 + b8 e diagonale interna uguale a a8 + 14a4b4 + b8.

 

Se si rinuncia a una diagonale di una faccia, ma si vuole intera la diagonale interna, il problema è equivalente a cercare tre quadrati (due diagonali di facce e quella interna), le differenze dei quali siano quadrati (degli spigoli). Esistono anche in questo caso infinite soluzioni, la minima delle quali, risalente a Eulero, è 104, 153 e 672 per gli spigoli, con diagonali delle facce 185, 690 e sqrt(474993) = 3 * sqrt(52777) e diagonale interna 697.

Se si richiede che siano interi gli spigoli e la diagonale interna, ma non le diagonali delle facce, esistono infinite soluzioni, date dalla formula di Lebesgue: x = m2 + n2p2q2, y = 2(mp + nq), z = 2(mqnp), con diagonale interna m2 + n2 + p2 + q2, per qualsiasi scelta di m, n, p e q interi, purché m2 + n2 > p2q2 e mq > np.

Le soluzioni sembrano diventare via via più rare all’aumentare del limite massimo della ricerca.

 

Io ho utilizzato un calcolatore per cercare le soluzioni con gli spigoli minori di un miliardo e le diagonali delle facce intere, trovandone 4631, nessuna delle quali ha la diagonale interna intera.

 

La seguente tabella riporta le soluzioni con tutti gli spigoli minori di 10000.

Spigolo x

Spigolo y

Spigolo z

Diagonale xy

Diagonale xz

Diagonale yx

85

720

132

725

157

732

117

240

44

267

125

244

187

1584

1020

1595

1037

1884

195

6336

748

6339

773

6380

231

792

160

825

281

808

275

252

240

373

365

348

429

2340

880

2379

979

2500

495

8160

4888

8175

4913

9512

693

480

140

843

707

500

855

2640

832

2775

1193

2768

1155

1100

1008

1595

1533

1492

1155

6688

6300

6787

6405

9188

1575

9120

1672

9255

2297

9272

1755

6732

4576

6957

4901

8140

2035

3120

828

3725

2197

3228

2295

5984

1560

6409

2775

6184

2475

2992

780

3883

2595

3092

6325

5796

528

8579

6347

5820

9405

9152

2964

13123

9861

9620

 

Non ho trovato due soluzioni semplici con la stessa somma dei lati o la stessa superficie totale, mentre ho trovato 16 coppie di soluzioni, mostrate nella tabella, con due lati uguali, vale a dire che i due corrispondenti parallelepipedi hanno una faccia uguale.

Spigolo x1

Spigolo y1

Spigolo z1

Spigolo x2

Spigolo y2

Spigolo z2

1155

1100

1008

12075

1100

1008

23760

18368

4599

144832

23760

4599

157248

8415

5720

643720

157248

8415

211200

200385

169312

467016

200385

169312

4523552

2673585

1108536

9235200

4523552

2673585

5716352

4150575

3982680

24998400

5716352

4150575

8191161

4488000

1147600

10427600

8191161

4488000

11950848

8954495

1410864

75849840

11950848

8954495

12645009

9007200

5104000

12645009

11291280

5104000

13838272

2116296

1100385

13838272

7195320

1100385

31122325

28082208

3423420

115554576

31122325

3423420

62381880

11534489

6655200

62381880

46347840

11534489

77072512

62379225

15111984

318139800

77072512

62379225

148262400

93205889

28697760

481533360

148262400

93205889

675493923

321885200

58906980

767303460

675493923

321885200

908880489

335291880

194028800

908880489

525956640

194028800

Naturalmente moltiplicando i lati per valori opportuni si potrebbero trovare molte altre coppie di soluzioni non semplici con facce uguali.

 

Come nel caso di rettangoli con lati e diagonale interi, è possibile trovarne di vicini a piacere a un quadrato (più precisamente con i lati grandi a piacere che differiscono di una sola unità) e di infinitamente sottili (con rapporto tra i lati grande a piacere), nel caso dei parallelepipedi si possono trovare soluzioni con facce arbitrariamente vicine a un quadrato o con rapporto arbitrariamente grande tra lo spigolo maggiore e il minore.

Tra le soluzioni che ho trovato posso citare la più piatta, cioè quella con massimo rapporto tra lo spigolo maggiore e il minore: (74745, 23085952, 186227160). Il rapporto è circa 2491.4998996588; se lo spigolo maggiore misurasse un metro, il minore sarebbe circa un quarto di millimetro. Il valore successivo è circa 687.9996366279, nella terna (134429625, 195392, 13872144).

Le soluzioni con facce più vicine a un quadrato, cioè con rapporto tra due spigoli più vicino a 1, sono le terne (1791075, 1282960, 1282644), (44060445, 44071300, 31560816), (5426883, 5428220, 19827600) e (8956563, 32723600, 32715540) tutte con l'identico rapporto 4060 / 4059, quindi con due spigoli che differiscono tra loro di poco più di due parti su 10000: in un blocco di un metro di spigolo la differenza sarebbe molto inferiore allo spessore di una mano di vernice.

Prendendo nelle formule citate a e b tali che il loro rapporto sia vicino a sqrt(2) + 1 o a sqrt(6) + sqrt(3) – sqrt(2) – 2, si possono ottenere facce xz arbitrariamente vicine a un quadrato, ossia con rapporto tra gli spigoli vicino a 1. Prendendo invece a e b tali che il loro rapporto sia vicino a (sqrt((3 + 4 * n) * (5 + 4 * sqrt(n^2 + 1))) + 1) / (3 + 4 * n), si può ottenere un rapporto x / y arbitrariamente vicino a n, quindi grande a piacere. Generalmente i lati ottenuti in questo modo sono però enormi.

Per finire, le soluzioni più vicine a un cubo, cioè con rapporto tra lo spigolo massimo e quello minimo più vicino a 1, sono le terne (110562771, 109141700, 108192528), col rapporto record di circa 1.0219076404 e (5288547, 5245200, 5122780), con rapporto pari a circa 1.0323587974. L'evidenza sperimentale suggerisce che ci si possa avvicinare a piacere alla faccia quadrata e al cubo, ma quest’ultima parte sembra più difficile da dimostrare.

 

In ogni soluzione primitiva con le diagonali delle facce intere, valgono le seguenti proprietà:

  • esattamente uno spigolo è dispari;

  • esattamente due spigoli sono multipli di 3;

  • almeno uno spigolo è multiplo di 9;

  • esattamente due spigoli sono multipli di 4;

  • almeno uno spigolo è multiplo di 16;

  • almeno uno spigolo è multiplo di 5;

  • almeno uno spigolo è multiplo di 11;

  • nessuno spigolo è un numero primo;

  • il volume è multiplo di 26 • 33 • 5 • 11 = 95040.

Per un’eventuale soluzione con la diagonale centrale intera, valgono anche le seguenti proprietà:

  • almeno uno spigolo è multiplo di 7 (Tim Roberts, 2010);

  • almeno uno spigolo è multiplo di 19 (Tim Roberts, 2010);

  • il prodotto di spigoli, diagonali delle facce e diagonale interna è divisibile per 28 • 34 • 53 • 7 • 11 • 13 • 17 • 19 • 29 • 37 = 899231100768000 (Leech).

 

I. Korec dimostrò nel 1983 che se esiste una soluzione con la diagonale interna intera, il minimo spigolo è maggiore di 10000; nel 1984 portò il limite a 106 e dimostrò che nessuno spigolo è una potenza di un primo o della forma pmqn con p e q primi differenti se:

  • pq ≡ 3 mod 4;

  • uno degli esponenti è uguale a 1;

  • m + n < 5;

  • p = 2 e q ≡ 3 mod 4;

  • p = 2 e m < 4;

  • p = 2 e n = 1.

 

I. Korec dimostrò nel 1992 che se esiste una soluzione con la diagonale interna intera, tale diagonale:

  • non è una potenza di un primo;

  • ha almeno 3 fattori primi;

  • ha solo fattori primi della forma 4n + 1;

  • è almeno 8 • 109.

 

Ruslan Sharipov dimostrò nel 2011 che una soluzione con la diagonale interna intera esiste se e solo se esiste una soluzione dell’equazione a4b4u4 + 6a4b4c2u2 − 2a4b2c2u4 − 2a2b4c2u4 + 4a2b4c4u2 +4a4b2c4u2 − 12a2b2c4u4 + a4c4u4 + b4c4u4 + a4b4c4 + 6a4c6u2 + 6b4c6u2 − 8a2b2c6u2 − 2a2c6u4 − 2b2c6u4 − 2a4b2c6 − 2a2b4c6 + c8u4 + b4c8 + a4c8 + 4a2c8u2 +4b2c8u2 − 12a2b2c8 + 6c10u2 − 2a2c10 − 2b2c10 + c12 = 0, con interi tali che c > 0, a < c, b < c, 0 < u < c e 2 / (a / c + 1) < b / c < 1.

 

Il limite per la minima eventuale soluzione con la diagonale interna intera è stato progressivamente aumentato, grazie a ricerche tramite calcolatore:

  • Randal Rathbun dimostrò nel 1999 che lo spigolo minimo è maggiore di 1.281 • 109;

  • Randal Rathbun dimostrò nel 2010 che lo spigolo minimo è almeno 1010;

  • Bill Buter dimostrò nel 2011 che lo spigolo dispari è almeno 3 • 1012;

  • Robert D. Matson dimostrò nel 2015, che lo spigolo dispari è almeno 2.5 • 1013 e lo spigolo minore è almeno 5 • 1011.

 

Più recentemente sono stati esaminate soluzioni con numeri complessi interi, ossia della forma ni; anche in questo caso sono state trovate soluzioni solo rinunciando ad avere tutti gli elementi razionali.

Le soluzioni minime sono:

  • con la sola diagonale interna non intera, spigoli uguali a 63i, 60i, 65, diagonali delle facce uguali a 87i, 16 e 25 e diagonale interna uguale a sqrt(−3344) = 4 * sqrt(209) * i;

  • con uno spigolo non intero, spigoli uguali a sqrt(−3344) = 4 * sqrt(209) * i, 60, 63, diagonali delle facce uguali a 16, 25 e 87 e diagonale interna uguale a 65;

  • con una sola diagonale delle facce non intera, spigoli uguali a 672i, 153i, 697, diagonali delle facce uguali a sqrt(−474993) = 3 * sqrt(52777) * i, 185 e 680 e diagonale interna uguale a 104.

 

Nel 2009 George F. Sawyer e Clifford A. Reiter esaminarono al questione dell’esistenza di un parallelepipedo non rettangolo con tutti gli elementi interi, trovandone numerosi. In un parallelepipedo generico gli elementi interessanti sono 13: 3 spigoli, 6 diagonali delle facce e 4 diagonali interne.

La minima soluzione trovata ha spigoli 271, 106 e 103, diagonali corte delle facce 101, 266 e 255, diagonali lunghe delle facce 183, 312 e 323 e diagonali interne 374, 300, 278 e 272.

I due matematici trovarono anche soluzioni con due facce rettangolari; la minima delle quali ha spigoli a = 1120, b = 1135 e c = 840; la faccia con spigoli a e b è rettangolare, con diagonale 1525, quella con spigoli a e c è rettangolare, con diagonale 1400, quella con spigoli b e c è un parallelogramma, con diagonali 969 e 1617 e le diagonali interne sono 1481 e 1967 .

 

La più semplice estensione del problema consiste nel cercare un iperparallelepipedo con spigoli e diagonali delle facce interi, anche rinunciando alle diagonali interne. Trovare un rettangolo con lati e diagonale razionali equivale a trovare due quadrati, tali che la loro somma sia un quadrato; trovare un parallelepipedo con spigoli e diagonali delle facce interi equivale a trovare tre quadrati, tali che le loro somme a due a due siano quadrati; nel caso di un iperparallelepipedo a 4 dimensioni bisogna trovare 4 quadrati, tali che le loro somme a due a due siano quadrati.

Non si conosce alcun insieme del genere: se esiste:

  • esattamente uno spigolo è dispari;

  • esattamente tre spigoli sono multipli di 3;

  • almeno due spigoli sono multipli di 9;

  • almeno uno spigolo è multiplo di 27;

  • esattamente tre spigoli sono multipli di 4;

  • almeno due spigoli sono multipli di 16;

  • almeno uno spigolo è multiplo di 64;

  • almeno due spigoli sono multipli di 5;

  • almeno due spigoli sono multipli di 11;

  • nessuno spigolo è un numero primo.

Molti ritengono che un iperparallelepipedo a 4 dimensioni del genere non esista; se esiste, almeno uno spigolo è maggiore di 109 (M. Fiorentini, 2019).

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