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Bernstein (costante di)

Analisi 

Nel 1911 D. Jackson dimostrò un teorema fondamentale sulla possibilità di approssimare una funzione tramite polinomi: se f è una funzione definita nell’intervallo [-1 .. 1] e ω(δ, f) è la sua massima variazione in un qualsiasi intervallo di ampiezza δ contenuto in [-1 .. 1] (ossia Formula per la definizione della massima variazione di una funzione), allora esiste un polinomio pn(x) di grado al massimo n, tale che la differenza En(f) = |pn(x) – f(x)| non supera Massimo errore del polinomio approssimante.

In pratica, questo garantisce che se la funzione non è soggetta a sbalzi troppo repentini, esistono polinomi che la approssimano in modo soddisfacente. Il teorema è importante soprattutto per le funzioni continue, per le quali Massima variazione di una funzione diminuisce all’aumentare di n.

 

Nel caso particolare della funzione |x|, il teorema di Jackson ci assicura che possiamo trovare un polinomio di grado 2n tale che 2nE2n(f) ≤ 6. Ha senso considerare solo i polinomi di grado pari, perché nell’intervallo considerato |x| è una funzione pari, tale cioè che |-x| = |x| (il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse y).

 

Nel 1913 S.N. Bernstein migliorò il teorema in questo caso, dimostrando, tramite polinomi di Chebyshev, che Massimo errore del polinomio approssimante |x|.

Bernstein dimostrò anche che esiste una costante β, tale che Limite del massimo errore del polinomio approssimante |x| e che 0.278 < β < 0.286. Notò inoltre che Reciproco di due per radice di Pi è quasi al centro dell’intervallo di valori possibili della costante, supponendo quindi che il valore del limite, oggi noto come costante di Bernstein, fosse questo.

Nel 1985 però Richard S. Varga e A.J. Carpenter calcolarono limiti più stretti per la costante, dimostrando che 0.2801685460 ≤ β ≤ 0.2801733791 e pubblicando una stima della costante con 50 cifre di precisione, pari a circa 0.28016949902386913303643649123067200004248213981236. Ciò richiese tra l’altro la determinazione di E2n(|x|) per n da 1 a 52 con 95 cifre di precisione.

Dato che il limite superiore è minore di Reciproco di due per radice di Pi, la congettura fu dimostrata falsa.

 

I calcoli suggerirono agli autori che Massimo errore del polinomio approssimante |x|, con le costanti Km indipendenti da e n e tutte positive.

 

Da notare che Il massimo errore del polinomio approssimante |x| è uguale all'errore massimo del polinomio approssimante la radice quadrata e quindi possiamo attenderci che se utilizziamo un polinomio di grado 10 per approssimare Radice quadrata di x nell’intervallo [0 .. 1], non riusciamo a ridurre l’errore a meno di circaBeta diviso 20 ossia circa 0.014 e l’evidenza sperimentale ce lo conferma: un ben misero risultato per un polinomio di grado tanto alto. Il motivo è da ricercarsi nel pessimo comportamento della funzione Radice quadrata di x nei paraggi dell’origine, dove la derivata va a infinito. Restringendo l’intervallo a [0.1 .. 1], infatti, si può trovare un polinomio di grado 10 che dà un errore inferiore a 10-5.

 

E’ logico che se invece di un polinomio si usa un quoziente tra due polinomi, si possano ottenere approssimazioni migliori, tuttavia non è facile determinare quanto migliori.

Nel 1964 D.J. Newman diede una prima risposta al quesito, dimostrando che se si utilizza il rapporto tra due polinomi di grado al massimo n, il massimo errore En(|x|) nell’approssimare la funzione |x| nell’intervallo [-1 .. 1] soddisfa Massimo errore del quoziente di polinomi approssimante |x| per n > 3, poi nel 1968 A.P.: Bulanov migliorò il limite inferiore, portandolo a Limite inferiore del massimo errore del quoziente di polinomi approssimante |x|, N.S. Viacheslavov dimostrò (1975) che Massimo errore del quoziente di polinomi approssimante |x| è sempre compreso tra due costanti e R.S. Varga, A. Ruttan e A.J. Carpenter supposero nel 1991 che Limite dell'errore massimo del quoziente di polinomi approssimante |x|, sulla base di accurati calcoli.

Questo risultato fu infine dimostrato da H. Stahl nel 1993, stabilendo una delle più curiose connessioni tra e e π.

 

Per rendersi conto del significato di tale espressione, notiamo che se utilizziamo il quoziente di due polinomi di grado 5, possiamo sperare di riuscire a ridurre l’errore nell’approssimare Radice quadrata di x a circa Massimo errore del quoziente di due polinomi di quinto grado che approssimano la radice quadrata di x, ossia circa 0.0071, e aumentando il grado possiamo ridurlo molto più rapidamente che utilizzando un singolo polinomio.

Bibliografia

  • Varga, Richard S.;  Scientific Computation on Mathematical Problems and Conjectures, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1990.

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