Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Suddivisioni di quadrati (numero di)

Geometria  Matematica combinatoria  Vari 

Dato un quadrato n × n formato da n2 quadratini uguali, in quanti modi lo si può suddividere in k parti di area uguale, ciascuna formata da quadratini uniti per almeno un lato (vale a dire polimini), contando separatamente rotazioni e riflessioni?

 

Per esempio, nel caso di un quadrato 4 × 4 abbiamo:

  • una suddivisione mostrata nella figura seguente, che resta invariata per rotazione e riflessione;

 

Suddivisione di un quadrato 4 × 4 in 4 parti uguali

 

  • quattro suddivisioni mostrate nella figura seguente, da ciascuna delle quali se ne può ricavare un’altra per rotazione di 90°, per un totale di 8 configurazioni;

 

Suddivisioni di quadrati 4 × 4 in 4 parti uguali

 

  • sette suddivisioni mostrate nella figura seguente, da ciascuna delle quali se ne possono ricavare altre quattro tramite rotazioni, per un totale di 28 configurazioni;

 

Suddivisioni di quadrati 4 × 4 in 4 parti uguali

 

  • dieci suddivisioni mostrate nella figura seguente, da ciascuna delle quali se ne possono ricavare altre otto tramite rotazioni e/o riflessioni, per un totale di 80 configurazioni;

 

Suddivisioni di quadrati 4 × 4 in 4 parti uguali

 

Abbiamo quindi in totale 117 modi di suddividere un quadrato 4 × 4.

 

Naturalmente il numero è maggiore di zero solo se k divide n2 ed è uguale a 1 se k = 1 o k = n2.

 

Non si conosce una formula per trovare i numeri di suddivisioni, ma solo alcuni valori per n e k piccoli, riportati nelle tabelle seguenti.

n \ k

1

2

3

4

5

6

7

1

1

-

-

-

-

-

-

2

1

2

-

1

-

-

-

3

1

-

10

-

-

-

-

4

1

70

-

117

-

-

-

5

1

-

-

-

4006

-

-

6

1

80518

264500

441791

-

451206

-

7

1

-

-

-

-

-

158753814

8

1

?

-

?

-

-

-

9

1

-

?

-

-

-

-

n \ k

8

9

12

18

1

-

-

-

-

2

-

-

-

-

3

-

1

-

-

4

36

-

-

-

5

-

-

-

-

6

-

128939

80092

6728

7

 

 

 

 

8

187497290034

 

 

 

9

-

706152947468301

 

 

 

È stato anche esaminato il problema di suddividere un rettangolo n × k in n parti di uguale area; le tabelle seguenti riportano i risultati noti (R.H. Hardin, R.S Harris, Alois P. Heinz e Johan de Ruiter, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n \ k

1

2

3

4

1

1

1

1

1

2

1

2

3

4

3

1

3

10

23

4

1

5

23

117

5

1

8

62

454

6

1

13

170

2003

7

1

21

441

9157

8

1

34

1173

40899

9

1

55

3127

179399

10

1

89

8266

796558

11

1

144

21937

3546996

12

1

233

58234

15747348

13

1

377

154390

69834517

14

1

610

409573

310058192

15

1

987

1086567

1376868145

16

1

1597

2882021

6112247118

17

1

2584

7645046

27132236455

18

1

4181

20279829

120453362938

19

1

6765

53794224

534754586459

20

1

10946

142696606

2373975139658

21

1

17711

378522507

10538953415410

22

1

28657

1004078871

46786795734201

23

1

46368

2663452699

207705902269424

24

1

75025

7065162260

922089495910044

25

1

121393

18741269167

4093525019450760

26

1

196418

49713692146

 

27

1

317811

131872134232

 

28

1

514229

349808216915

 

29

1

832040

927912454723

 

30

1

1346269

2461410223831

 

31

1

2178309

6529215299832

 

32

1

3524578

17319605000601

 

33

1

5702887

45942537263742

 

34

1

9227465

121868641070852

 

35

1

14930352

323272648447051

 

36

1

24157817

857523348947977

 

37

1

39088169

2274693814231101

 

38

1

63245986

6033925438879612

 

39

1

102334155

16005783272212985

 

40

1

165580141

42457451743235940

 

n \ k

5

6

7

8

1

1

1

1

1

2

5

6

7

8

3

56

132

259

546

4

5001

2369

9525

39731

5

4006

33344

270827

2152050

6

27950

451206

6633399

99697633

7

214689

5850115

158753814

4292655082

8

1696781

81459922

3825111851

187497290034

9

13205354

1144259389

96608374284

8378760802160

10

101698212

15946621499

244622378830

385296986628990

11

782267786

 

 

 

12

6048166230

 

 

 

13

46799177380

 

 

 

14

361683136647

 

 

 

15

2793722300087

 

 

 

16

21583392631817

 

 

 

17

166790059833039

 

 

 

18

1288885349447958

 

 

 

19

9959188643348952

 

 

 

20

76953117224941654

 

 

 

21

594617039453764617

 

 

 

22

4594660583890506956

 

 

 

n \ k

9

10

11

12

13

1

1

1

1

1

1

2

9

10

11

12

13

3

1095

2043

3908

7379

13208

4

145415

554487

1975561

7301317

25334269

5

15661597

113764225

757566033

 

 

6

1418159011

 

 

 

 

7

112976454947

 

 

 

 

8

8812020831683

 

 

 

 

9

706152947468301

 

 

 

 

n \ k

14

15

16

17

18

19

20

21

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

14

15

16

17

18

19

20

21

3

24194

43819

76790

136489

241311

416152

726073

1261696

n \ k

22

23

24

25

26

1

1

1

1

1

1

2

22

23

14

25

26

3

2153026

3706393

6364842

10775173

18374181

 

Il numero di modi per suddividere un rettangolo 2 × n con domini è il numero di Fibonacci Fn + 1.

Il numero di modi per suddividere un rettangolo 3 × n con trimini è dato dalla ricorrenza a1 = 1, a2 = 3, a3 = 10, a4 = 23, a5 = 62, a6 = 170, an = an – 1 + 2an – 2 + 6an – 3 + an – 4an – 6.

Vedi anche

Numero di polimini.

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