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Collane (polinomi delle)

Polinomi 

I polinomi delle collane M(x, n) furono introdotti da Charles Paul Narcisse Moreau (Parigi, 14/9/1837 – 6/7/1916) in relazione al calcolo dei numeri di collane. Sono definiti come Formula per la definizione di M(x, n), dove la somma va calcolata sui divisori di n.

 

Il polinomio M(x, n) è un polinomio di grado n senza termine costante e con 2ω(n) termini non nulli, metà dei quali ha coefficiente 1 / n e metà ha coefficiente –1 / n.

 

Alcune formule che coinvolgono i polinomi delle collane:

M(–1, n) = 0, per n > 2;

M(0, n) = 0;

M(1, n) = 0;

se p è primo, Formula per il calcolo di M(x, p^n) e in particolare Formula per il calcolo di M(x, p);

Formula per il calcolo di M(x * y, p), dove la somma va calcolata su tutte le coppie di interi positivi r e s, tali che mcm(r, s) = n (N. Metropolis e Giancarlo Rota, 1983);

Formula per il calcolo di M(x^m, p), dove la somma va calcolata su tutti gli interi positivi r, tali che mcm(r, m) = mn (N. Metropolis e Giancarlo Rota, 1983);

Formula che coinvolge i polinomi delle collane, dove la somma va calcolata sui divisori di n;

C”(m, n) = M(m, n), dove C”(m, n) è il numero di collane non periodiche con n perline di m colori;

Formula che coinvolge i polinomi delle collane, dove C(m, n) è il numero di collane con n perline di m colori;

Formula che coinvolge i polinomi delle collane.

 

La figura seguente mostra una parte del grafico dei primi polinomi delle collane.

 

Grafico dei primi polinomi delle collane

 

 

La tabella seguente riporta i primi polinomi delle collane.

n

M(x, n)

1

x

2

Polinomio delle collane M(2, x)

3

Polinomio delle collane M(3, x)

4

Polinomio delle collane M(4, x)

5

Polinomio delle collane M(5, x)

6

Polinomio delle collane M(6, x)

7

Polinomio delle collane M(7, x)

8

Polinomio delle collane M(8, x)

9

Polinomio delle collane M(9, x)

10

Polinomio delle collane M(10, x)

11

Polinomio delle collane M(11, x)

12

Polinomio delle collane M(12, x)

13

Polinomio delle collane M(13, x)

14

Polinomio delle collane M(14, x)

15

Polinomio delle collane M(15, x)

16

Polinomio delle collane M(16, x)

17

Polinomio delle collane M(17, x)

18

Polinomio delle collane M(18, x)

19

Polinomio delle collane M(19, x)

20

Polinomio delle collane M(20, x)

 

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