Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Braccialetti (numeri di)

Matematica combinatoria 

Il numero di braccialetti B(m, n)è il numero di braccialetti distinti che si possono costruire con m perline di n colori diversi. Due braccialetti si considerano uguali se possono essere fatti coincidere mediante una rotazione o una riflessione.

Una definizione alternativa è il numero di modi di colorare i vertici (o i lati) di un poligono di m lati con n colori, considerando equivalenti le immagini speculari.

 

La figura seguente mostra i braccialetti differenti con 2 perline e fino a 4 colori.

 

Raffigurazione dei braccialetti differenti con 2 perline e fino a 4 colori

 

 

La figura seguente mostra i braccialetti differenti con 3 perline e fino a 4 colori.

 

Raffigurazione dei braccialetti differenti con 3 perline e fino a 4 colori

 

 

La figura seguente mostra i braccialetti differenti con 4 perline e fino a 3 colori.

 

Raffigurazione dei braccialetti differenti con 4 perline e fino a 3 colori

 

 

Il numero di braccialetti è dato dalla formula Formula per il numero di braccialetti con n perline e m colori, per n pari per n pari e Formula per il numero di braccialetti con n perline e m colori, per n dispari per n dispari, dove le somme vanno calcolate sui divisori di m; se n è 2, la formula diventa Formula per il numero di braccialetti con 2 perline e m colori; se n è un primo dispari, la formula si riduce a Formula per il numero di braccialetti con n perline e m colori, per n primo dispari.

Il numero di braccialetti si può anche calcolare come Formula per il numero di braccialetti con n perline e m colori, per n pari per n pari e Formula per il numero di braccialetti con n perline e m colori, per n dispari per n dispari, dove C(m, n) è il numero di collane con n perline di m colori.

 

Le tabelle seguenti mostrano i valori di B(m, n), per m e n fino a 20.

n \ m

1

2

3

4

5

1

1

2

3

4

5

2

1

3

6

10

15

3

1

4

10

20

35

4

1

6

21

55

120

5

1

8

39

136

377

6

1

13

92

430

1505

7

1

18

198

1300

5895

8

1

30

498

4435

25395

9

1

46

1219

15084

110085

10

1

78

3210

53764

493131

11

1

126

8418

192700

2227275

12

1

224

22913

704370

10196680

13

1

380

62415

2589304

46989185

14

1

687

173088

9608050

218102685

15

1

1224

481598

35824240

1017448143

16

1

2250

1351983

134301715

4768969770

17

1

4112

3808083

505421344

22440372245

18

1

7685

10781954

1909209550

105966797755

19

1

14310

30615354

7234153420

501938733555

20

1

27012

87230157

27489127708

2384200683816

n \ m

6

7

8

9

1

6

7

8

9

2

21

28

36

45

3

56

84

120

165

4

231

406

666

1035

5

888

1855

3536

6273

6

4291

10528

23052

46185

7

20646

60028

151848

344925

8

107331

365260

1058058

2707245

9

563786

2250311

7472984

21552969

10

3037314

14158228

53762472

174489813

11

16514106

89937316

390582648

1426677525

12

90782986

576960734

2863912668

11769248715

13

502474356

3726912175

21145502960

97766461809

14

2799220041

24223929112

157077883188

817040430225

15

15673673176

158254933900

1172820793824

6863059263885

16

88162676511

1038540790210

8796131295498

57906989864055

17

497847963696

6842094117607

66229473393728

490505537818089

18

2821127825971

45233792887780

500400264329484

4169296404259125

19

16035812864946

299971067168500

3792505486235544

35548731155839365

20

91404068329560

1994807229453766

28823040057935880

303941645280557451

n \ m

10

11

12

1

10

11

12

2

55

66

78

3

220

286

364

4

1540

2211

3081

5

10504

16775

25752

6

86185

151756

254618

7

719290

1399266

2569788

8

6278140

13442286

26942565

9

55605670

131077771

286779076

10

500280022

1297362462

3096689388

11

4545954550

12969598086

33774600756

12

41669459260

130773238871

371514016094

13

384620384620

1327806364511

4115141199720

14

3571456428595

13562553214056

45854348609862

15

33333383340136

139241712837546

513567600827216

16

312500278125640

1435929708012921

5777634501348645

17

2941176970588240

14866090252482491

65253270425197152

18

27777780555611185

154442154736446566

739537052492925050

19

263157899736842110

1609449761611200366

8407368435448759140

20

2500000027750006012

16818749951774719179

95844000013966260420

n \ m

13

14

15

1

13

14

15

2

91

105

120

3

455

560

680

4

4186

5565

7260

5

38233

55160

77631

6

410137

638015

963040

7

4496323

7548750

12229560

8

51084943

92383305

160386360

9

589324749

1148105154

2136122255

10

6894242719

14464776522

28835595048

11

81464249503

184074908850

393176416200

12

970770644298

2362274901910

5406143453740

13

11649073935505

30527543985764

74853741905055

14

140620807064413

396857785692525

1042605190446480

15

1706196841693435

5185603923191160

14596464294191704

16

20794271917525288

68061047386872645

205262771447683860

17

254424002931112573

896804325899087984

2897827234977366735

18

3123761341631624239

11857746028348726975

41052552378047508040

19

38471586657756775159

157271156959072443210

583378373986509560040

20

475124094857971191178

2091706386724056392304

8313141827520145062588

n \ m

16

17

18

1

16

17

18

2

136

153

171

3

816

969

1140

4

9316

11781

14706

5

106912

144449

191880

6

1415896

2034033

2862597

7

19206736

29351673

43782498

8

268718116

436365945

689252778

9

3818273456

6588925841

11020906014

10

54980090320

100806155433

178532431326

11

799653208816

1557825537321

2921308373358

12

11728196037656

24276036183429

48201470543928

13

173215504501216

380945514127265

800883570174300

14

2573486651792296

6013495666871937

13386194629270263

15

38430718967782336

95414105204967897

224888026059355656

16

576460770691256356

1520662277723495805

3794985399457763478

17

8680820774928939136

24330595997127372497

64291516562082484368

18

131176847040346616536

390641235316599920745

1092955780817066765469

19

1988364835442238009136

6291379887459347604105

18637772247978330359574

20

30223145495066141635408

101605785175311685538949

318705905426950935473076

n \ m

19

20

1

19

20

2

190

210

3

1330

1540

4

18145

22155

5

251047

324008

6

3955420

5376070

7

63913150

91508580

8

1062132490

1600850055

9

17928333139

28446045340

10

306565817266

512016960084

11

5295035291050

9309122909100

12

92221692162205

170667005347370

13

1617422887791919

3150769870769240

14

28535957564957200

58514292480000090

15

506037576154440790

1092266679466881072

16

9013794259436721235

20480000135200010055

17

161187848919720383779

385505882608941176480

18

2892426398786605803850

7281777780480003556070

19

52063675152021153895330

137970526320909473684220

20

939749336469457562916217

2621440000054016000176044

 

A parte i casi banali B(p, 1) = p con p primo, i numeri di braccialetti primi sono rarissimi; gli unici inferiori a 101000 sono (M. Fiorentini, 2018):

B(2, 2) = 3,

B(2, 6) = 13,

B(3, 69) = 6046269335732492651801865550967,

B(3, 81) = 2737200544710109709275076249513448643.

 

Il numero di braccialetti con perline tutte diverse tra loro B’(m, n) è uguale a B(m, n) per n < 3 ed è dato dalla formula Formula per il numero di braccialetti con n perline di colori differenti e m colori, per m ≥ n ≥ 3, per mn ≥ 3, dove C’(m, n) è il numero di collane con n perline differenti e m colori.

 

A parte i casi banali B’(p, 1) = p con p primo, l’unico numero della forma B’(m, n) primo è B’(3, 2) = 3.

Vedi anche

Numeri di collane.

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