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Espansione di Oppenheim

Rappresentazione dei numeri 

Nel 1953 A. Oppenheim introdusse una particolare rappresentazione per i numeri reali tra 0 e 1.

Date due successioni an e bn di interi maggiori di zero, un numero reale x compreso tra 0 e 1 può essere rappresentato tramite una sequenza di interi dn, calcolati partendo con x1 = x mediante le ricorrenze d(n) = massimo intero non superiore a 1 / x(n) più uno e x(n + 1) = b(n) / a(n) * (x(n) – 1 / d(n)). In tal caso 1 / d(n) < x < 1 / (d(n) – 1)d(n + 1) > a(n) / b(n) * d(n) * (d(n) – 1) e Formula per l'espansione di Oppenheim di x. La sequenza dn si chiama “espansione di Oppenheim” di x.

L’espansione di Oppenheim di un numero reale x non è unica, ma dipende dalle successioni an e bn e comprende altre rappresentazioni come casi particolari; per esempio, se n * a(n) / b(n) = 1 si ha l’espansione di Engel e se n * (n – 1) * a(n) / b(n) = 1 si ha l’espansione di Lüroth.

 

Condizione sufficiente perché una sequenza di interi dn sia l’espansione di x è che d(n + 1) ≥ a(n) / b(n) * d(n) * (d(n) – 1) + 1.

 

Nel 1972 Oppenheim dimostrò che se an = 1 e dn divide bn per n abbastanza grande, l’espansione di un numero razionale è periodica da un certo punto in poi; nel 1970 J. Galambos estese la dimostrazione al caso in cui n * (n – 1) * a(n) / b(n) sia intero e divida dn per n abbastanza grande.

Condizione necessaria perché un numero reale sia razionale è che per la sua espansione di Oppenheim valga d(n + 1) – 1 > a(n) / b(n) * d(n) * (d(n) – 1) = n * (n – 1) * a(n) / b(n).

 

Nel 1970 J. Galambos definì “espansione di Oppenheim ristretta” una rappresentazione di Openheim tale che n * (n – 1) * a(n) / b(n) sia intero per ogni n e dimostrò che:

  • se n * (n – 1) * a(n) / b(n) = r * n + s con r > 0 e s > –2, Condizione valida per quasi tutti i valori di x per quasi tutti i valori di x ;

  • se n * (n – 1) * a(n) / b(n) = (n + 4) * (n – 1)Condizione valida per quasi tutti i valori di x per quasi tutti i valori di x;

  • se n * (n – 1) * a(n) / b(n) = mCondizione valida per quasi tutti i valori di x per quasi tutti i valori di x.

Pertanto troncando una sua rappresentazione di Oppenheim ristretta, si possono ottenere eccellenti approssimazioni razionali di x.

 

Se x è razionale e in una sua espansione di Oppenheim ristretta Prodotto di a(k) / b(k) per k da 1 a n è intero per ogni valore di nd(n + 1) – 1 = a(n) / b(n) * d(n) * (d(n) – 1) = n * (n – 1) * a(n) / b(n) (C. Badea, 1993).

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