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Farhi (congetture di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Nel 2014 Bahir Farhi avanzò tre congetture sulla possibilità di rappresentare tutti i numeri naturali come somma di tre addendi della forma Massimo intero non superiore a f(n) / a, con n e a interi.

 

La prima congettura che, fissato a > 2, ogni numero naturale possa essere rappresentato come Somma di tre massimi interi non superiori a tre quadrati divisi per a, con x, y e z interi.

 

La congettura è stata dimostrata solo:

  • per a = 4 e a = 8 (Farhi, 2013);

  • per a = 3 (da Farhi nel 2013 per tutti i numeri non della forma 24k + 2, da Soufiane Mezroui, Abdelmalek Azizi e M’hammed Ziane nel 2014 per i restanti);

  • per a = 7, 8, 9, 20, 24, 40, 104, 120 (Sebastian Tim Holdum, Frederik Ravn Klausen e Peter Michael Reichstein Rasmussen, 2015).

 

La congettura è stata verificata fino a 109 per tutti i valori di a fino a 100 (M. Fiorentini, 2018).

 

Nel 2015 Zhi-Wei Sun propose una versione molto più generale, vale a dire che ogni numero naturale possa essere rappresentato come Somma di tre massimi interi non superiori a tre quadrati divisi per a, b e c, con x, y e z interi, per qualsiasi terna di interi positivi a, b e c, tranne nei casi a = b = c = 1 e a = b = c = 2.

Questa versione è stata verificata fino a 109 per tutti i valori di a, b e c fino a 20 (M. Fiorentini, 2018).

 

La seconda congettura afferma che ogni numero naturale può essere rappresentato come Somma di tre massimi interi non superiori a x, y e z divisi per 2, con x, y e z quadrati od oblunghi, ossia della forma n2 o n2 + n.

I quadrati non possono bastare, perché Massimo interi non superiore a n^2 / 2 è sempre pari, quindi i numeri dispari non possono essere rappresentati con tre addendi di questo genere. Farhi dimostrò che tutti i numeri naturali pari sono rappresentabili come Somma di tre massimi interi non superiori a tre quadrati divisi per 2, con x, y e z interi.

Questa congettura è stata verificata fino a 109 (M. Fiorentini, 2018).

 

La terza congettura afferma che per ogni intero n > 1 esista un intero a(n) tale che ogni numero naturale possa essere rappresentato come Somma di tre massimi interi non superiori a tre potenze n-esime divise per a(n), con x, y e z interi.

Vedi anche

Potenze, Quadrati.

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