Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Nel 2008 A. Dil e I. Mező definirono i numeri di iperfibonacci come segue: Formula per la definizione dei numeri di iperfibonacci, con F0(n) = F(n)Fr(0) = 0 e Fr(1) = 1.

In pratica si tratta di sequenze a più livelli, col livello di partenza F0(n) uguale ai numeri di Fibonacci e l’n-esimo numero di ogni altro livello uguale alla somma dei primi n del livello inferiore.

 

Numero di iperfibonacci F1(n) è il numero di permutazioni degli interi da 1 a n + 1 tali che ciascuno non sia a più di un posto di distanza dalla posizione iniziale. Per esempio, vi sono F1(3) = 4 permutazioni del genere degli interi da 1 a 4: 1243, 1324, 2134, 2143.

 

Numero di iperfibonacci F2(n) è il numero di sottoinsiemi non vuoti degli interi da 1 a n, tali che la differenza tra termini successivi sia al massimo 2 (Geoffrey Critzer, 2012). Per esempio, vi sono F2(5) = 26 sottoinsiemi del genere degli interi da 1 a 5, perché dai 31 sottoinsiemi non vuoti bisogna toglierne 5: { 1, 4 }, { 1 , 5 }, { 2, 5 }, { 1, 2, 5 }, { 1, 4, 5 }.

 

Numero di iperfibonacci F2(n) è il numero di sequenze di n + 1 termini uguali ad A o B, che contengono la sequenza AA, ma non la sequenza ABB. Per esempio, vi sono F2(4) = 14 sequenze del genere di 5 termini:

AAAAA,

AAAAB,

AAABA,

AABAA,

AABAB,

ABAAA,

ABAAB,

BAAAA,

BAAAB,

BAABA,

BABAA,

BBAAA,

BBAAB,

BBBAA.

 

Numero di iperfibonacci Fr(n + 1) è il numero di modi di rappresentare n + 2r come somma di addendi uguali a 1 o 2, con almeno r uguali a 2, contando separatamente i vari ordini possibili degli stessi addendi (Ligia Loretta Cristea, Ivica Martinjak, Igor Urbiha, 2016). Per esempio, con n = 3 e r = 1 otteniamo che vi sono F1(4) = 7 modi di rappresentare 5 come somma di 1 e 2 con almeno un 2:

5 = 2 + 1 + 1 + 1,

5 = 1 + 2 + 1 + 1,

5 = 1 + 1 + 2 + 1,

5 = 1 + 1 + 1 + 2,

5 = 2 + 2 + 1,

5 = 2 + 1 + 2,

5 = 1 + 2 + 2.

 

Alcune formule per il calcolo dei numeri di iperfibonacci:

Formula per il calcolo dei numeri di iperfibonacci e quindi Formula per il calcolo dei numeri di iperfibonacci e Formula per il calcolo dei numeri di iperfibonacci, per n > 3 (v. anche altre formule per il calcolo dei numeri di Fibonacci alla voce numeri di Fibonacci);

Formula per il calcolo dei numeri di iperfibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di iperfibonacci (Mario C. Enriquez, Apr 2017);

Formula per il calcolo dei numeri di iperfibonacci (Ross La Haye, 2006);

Formula per il calcolo dei numeri di iperfibonacci (Paul Barry, 2004);

Formula per il calcolo dei numeri di iperfibonacci (Paul Barry, 2004);

Formula per il calcolo dei numeri di iperfibonacci (Tony Foster III, 2017);

Formula per il calcolo dei numeri di iperfibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di iperfibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di iperfibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di iperfibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di iperfibonacci (Paolo P. Lava, 2008);

Formula per il calcolo dei numeri di iperfibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di iperfibonacci (Ligia Loretta Cristea, Ivica Martinjak, Igor Urbiha, 2016) e in particolare Formula per il calcolo dei numeri di iperfibonacci e Formula per il calcolo dei numeri di iperfibonacci;

Formula per il calcolo dei numeri di iperfibonacci (Ligia Loretta Cristea, Ivica Martinjak, Igor Urbiha, 2016);

Formula per il calcolo dei numeri di iperfibonacci (Ligia Loretta Cristea, Ivica Martinjak, Igor Urbiha, 2016);

Formula per il calcolo dei numeri di iperfibonacci (Ligia Loretta Cristea, Ivica Martinjak, Igor Urbiha, 2016).

 

Alcune formule che coinvolgono i numeri di iperfibonacci.

Formula che coinvolge i numeri di iperfibonacci (Ligia Loretta Cristea, Ivica Martinjak, Igor Urbiha, 2016), identità analoga all’identità di Cassini (v. numeri di Fibonacci);

Formula che coinvolge i numeri di iperfibonacci (Ligia Loretta Cristea, Ivica Martinjak, Igor Urbiha, 2016);

Formula che coinvolge i numeri di iperfibonacci (Ligia Loretta Cristea, Ivica Martinjak, Igor Urbiha, 2016);

Formula che coinvolge i numeri di iperfibonacci (Ning-Ning Cao e Feng-Zhen Zhao, 2010);

Formula che coinvolge i numeri di iperfibonacci tende a φ * (φ + 1)^r / ((φ^2 + 1) * (2 – φ)) per n tendente a infinito (Ning-Ning Cao e Feng-Zhen Zhao, 2010);

Formula che coinvolge i numeri di iperfibonacci tende a (–φ)^(n +1) * (2 – φ)^r / (φ^2 + 1) per n tendente a infinito (Ning-Ning Cao e Feng-Zhen Zhao, 2010);

Formula che coinvolge i numeri di iperfibonacci tende a φ^(n +1) * (φ + 1)^(m + r) / (φ^2 + 1) per n tendente a infinito (Ning-Ning Cao e Feng-Zhen Zhao, 2010);

Formula che coinvolge i numeri di iperfibonacci (Rui Liu e Feng-Zhen Zhao, 2012);

Formula che coinvolge i numeri di iperfibonacci (Rui Liu e Feng-Zhen Zhao, 2012);

Formula che coinvolge i numeri di iperfibonacci, se k, m e r sono dispari e m > kr (Rui Liu e Feng-Zhen Zhao, 2012);

se, partendo da una successione di Fibonacci generalizzata U0 = 0, U1 = 1, Un = pUn – 1 + Un – 2, definiamo numeri di iperfibonacci generalizzati come Formula per la defnizione dei numeri di iperfibonacci generalizzati, con U0(n) = U(n)Ur(0) = 0 e Ur(1) = 1, allora Formula che coinvolge i numeri di iperfibonacci generalizzati (Rui Liu e Feng-Zhen Zhao, 2012) e in particolare Formula che coinvolge i numeri di iperfibonacci; nel 2013 Kantaphon Kuhapatanakul estese la dimostrazione alle successioni del tipo U0 = a, U1 = 1, Un = Un – 1 + Un – 2 e U0 = 0, U1 = 1, Un = pUn – 1 + qUn – 2;

Formula che coinvolge i numeri di iperfibonacci, per n > 0 (Rui Liu e Feng-Zhen Zhao, 2012);

Limite che coinvolge i numeri di iperfibonacci.

 

La funzione generatrice dei numeri di iperfibonacci è Funzione generatrice dei numeri di iperfibonacci.

 

Le tabelle seguenti mostrano i numeri di iperfibonacci Numero di iperfibonacci Fr(n), per r fino a 20 e n fino a 20.

n \ r

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

3

2

4

7

11

16

22

29

37

46

4

3

7

14

25

41

63

92

129

175

5

5

12

26

51

92

155

247

376

551

6

8

20

46

97

189

344

591

967

1518

7

13

33

79

176

365

709

1300

2267

3785

8

21

54

133

309

674

1383

2683

4950

8735

9

34

88

221

530

1204

2587

5270

10220

18955

10

55

143

364

894

2098

4685

9955

20175

39130

11

89

232

596

1490

3588

8273

18228

38403

77533

12

144

376

972

2462

6050

14323

32551

70954

148487

13

233

609

1581

4043

10093

24416

56967

127921

276408

14

377

986

2567

6610

16703

41119

98086

226007

502415

15

610

1596

4163

10773

27476

68595

166681

392688

895103

16

987

2583

6746

17519

44995

113590

280271

672959

1568062

17

1597

4180

10926

28445

73440

187030

467301

1140260

2708322

18

2584

6764

17690

46135

119575

306605

773906

1914166

4622488

19

4181

10945

28635

74770

194345

500950

1274856

3189022

7811510

20

6765

17710

46345

121115

315460

816410

2091266

5280288

13091798

n \ r

9

10

11

12

13

14

15

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

2

10

11

12

13

14

15

16

3

56

67

79

92

106

121

137

4

231

298

377

469

575

696

833

5

782

1080

1457

1926

2501

3197

4030

6

2300

3380

4837

6763

9264

12461

16491

7

6085

9465

14302

21065

30329

42790

59281

8

14820

24285

38587

59652

89981

132771

192052

9

33775

58060

96647

156299

246280

379051

571103

10

72905

130965

227612

383911

630191

1009242

1580345

11

150438

281403

509015

892926

1523117

2532359

4112704

12

298925

580328

1089343

1982269

3505386

6037745

10150449

13

575333

1155661

2245004

4227273

7732659

13770404

23920853

14

1077748

2233409

4478413

8705686

16438345

30208749

54129602

15

1972851

4206260

8684673

17390359

33828704

64037453

118167055

16

3540913

7747173

16431846

33822205

67650909

131688362

249855417

17

6249235

13996408

30428254

64250459

131901368

263589730

513445147

18

10871723

24868131

55296385

119546844

251448212

515037942

1028483089

19

18683233

43551364

98847749

218394593

469842805

984880747

2013363836

20

31775031

75326395

174174144

392568737

862411542

1847292289

3860656125

n \ r

16

17

18

19

20

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

2

17

18

19

20

21

3

154

172

191

211

232

4

987

1159

1350

1561

1793

5

5017

6176

7526

9087

10880

6

21508

27684

35210

44297

55177

7

80789

108473

143683

187980

243157

8

272841

381314

524997

712977

956134

9

843944

1225258

1750255

2463232

3419366

10

2424289

3649547

5399802

7863034

11282400

11

6536993

10186540

15586342

23449376

34731776

12

16687442

26873982

42460324

65909700

100641476

13

40608295

67482277

109942601

175852301

276493777

14

94737897

162220174

272162775

448015076

724508853

15

212904952

375125126

647287901

1095302977

1819811830

16

462760369

837885495

1485173396

2580476373

4400288203

17

976205516

1814091011

3299264407

5879740780

10280028983

18

2004688605

3818779616

7118044023

12997784803

23277813786

19

4018052441

7836832057

14954876080

27952660883

51230474669

20

7878708566

15715540623

30670416703

58623077586

109853552255

 

Bibliografia

  • Dil, A.;  Mező, I.;  "A symmetric algorithm for hyperharmonic and Fibonacci numbers" in Applied Mathematics and Computation, n. 206, 2008, pag. 942 – 951.
  • Feng-Zhen Zhao;  Ning-Ning Cao;  "Some Properties of Hyperfibonacci and Hyperlucas Numbers" in Journal of Integer Sequences, vol. 13, 2010.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.