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Hogben (numeri di)

Matematica combinatoria 

Si chiamano “numeri di Hogben” gli interi della forma Hn = n2n + 1; devono il loro nome a L. Hogben, che li trattò in un articolo pubblicato nel 1950.

Dalla definizione segue che sono tutti dispari.

 

I numeri di Hogben hanno alcune applicazioni in matematica combinatoria e in geometria.

 

Hn è il massimo numero di 1 che può contenere una matrice quadrata di ordine n con determinante non nullo, formata solo da 0 e 1.

 

Hn è il numero di cammini di lunghezza 3 tra due nodi distinti in un grafo completo di n nodi; per esempio, nel grafo completo con 4 nodi chiamati A, B, C e D vi sono 7 cammini di lunghezza 3 tra A e B: ABAB, ABCB ABDB, ACAB, ACDB, ADAB, ADCB.

 

Se si tracciano le rette che uniscono ogni vertice di un triangolo con un punto a 1 / n della lunghezza del lato opposto, sempre in senso antiorario, l’intersezione di tali rette, detti “ceviane” in onore di Giovanni Ceva (Milano, 7/12/1647 – Mantova, 15/6/1734), crea un nuovo triangolo, che ha area (n – 2)^2 / H(n) di quello originario. La figura seguente illustra il caso n = 4.

 

Triangolo creato dall'intersezione di ceviane

 

 

Un triangolo equilatero di lato n può essere ricoperto con n2 triangoli equilateri di lato 1; lo schema contiene in tutto Hn – 1 triangoli di lato 2, anche sovrapposti. La figura seguente illustra il caso n = 4.

 

 

I 7 triangoli equilateri di lato 2 in uno di lato 4

 

 

Un esagono regolare di lato n può contenere Hn esagoni regolari di lato 1 non sovrapposti. La figura seguente illustra il caso n = 4, nel quale curiosamente sono possibili due disposizioni.

 

 

I 7 esagoni regolari di lato 1 contenuti in uno di lato 3

 

 

Se si scrivono i numeri naturali lungo una spirale in un reticolo quadrato, come nello schema seguente, i numeri di Hogben occupano una diagonale.

21

22

23

24

25

20

7

8

9

10

19

6

1

2

11

18

5

4

3

12

17

16

15

14

13

 

Se si scrivono i numeri naturali in uno schema a triangolo equilatero, come quello seguente, i numeri di Hogben occupano la colonna verticale centrale.

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

3

4

 

 

 

 

 

5

6

7

8

9

 

 

 

10

11

12

13

14

15

16

 

17

18

19

20

21

22

23

24

25

 

 

Alcune formule che coinvolgono i numeri di Hogben:

Hn = 2Hn – 1Hn – 2 + 2;

Hn = – (n – 5)Hn – 1 + (n – 2)Hn – 2;

(n – 2)Hn + 1 = (n – 1)3;

Hn = n3 mod (n2 + 1);

Hn = Tn + Tn – 2, dove Tn è l’n-esimo numero triangolare;

Hn = 2Tn – 1 + 1, dove Tn è l’n-esimo numero triangolare;

4(Hn – 1) = (2n – 1)2;

H(n) uguale al massimo intero nin superiore a T(n^2) / T(n), dove Tn è l’n-esimo numero triangolare (John Perry, 2004);

HnHn + 1 = Hn2;

Somma dei reciproci dei numeri di Hogben;

Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri di Hogben;

Somma dei reciproci dei cubi dei numeri di Hogben;

Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri di Hogben;

Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri di Hogben;

Somma dei reciproci dei numeri di Hogben a segni alterrnati;

Serie che coinvolge i numeri di Hogben.

 

La funzione generatrice dei numeri di Hogben è Funzione generatrice dei numeri di Hogben e la funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei numeri di Hogben.

 

La tabella seguente mostra i numeri di Hogben per n fino a 1000.

n

Hn

0

1

1

1

2

3

3

7

4

13

5

21

6

31

7

43

8

57

9

73

10

91

11

111

12

133

13

157

14

183

15

211

16

241

17

273

18

307

19

343

20

381

 

Se la congettura di Bunyakovsky è vera, vi sono infiniti di Hogben primi; quelli minori di 10000 sono: 3, 7, 13, 31, 43, 73, 157, 211, 241, 307, 421, 463, 601, 757, 1123, 1483, 1723, 2551, 2971, 3307, 3541, 3907, 4423, 4831, 5113, 5701, 6007, 6163, 6481, 8011, 8191, 9901.

Ve ne sono 3825 minori di 109, che trovate qui.

 

Hn è pluriunitario in base n – 1: Hn = 111n – 1.

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