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[x]

Funzioni 

La funzione indicata come [x], è la parte intera di x, definita come ⌊x⌋ per x non negativo e ⌈x⌉ per x negativo.

 

La figura seguente mostra parte del grafico della funzione [x].

 

Grafico della funzione [x]

 

La definizione può essere estesa ai numeri complessi tramite la formula [x + iy] = [x] + i[y].

 

Alcune proprietà:

[x] = x, per x intero;

[–z] = –[z];

[z] = z – {z};

[x] = ⌈x⌉, per x intero o x reale e x < 0;

[x] = ⌈x⌉ – 1, per x reale non intero e x > 0;

[x] = ⌊x⌋, per x intero o x reale e x > 0;

[x] = ⌊x⌋ + 1, per x reale non intero e x < 0;

Formula per una proprietà della funzione parte intera di x, per x reale e x > 0;

Formula per una proprietà della funzione parte intera di x, per x reale e x < 0;

Formula per una proprietà della funzione parte intera di x, per x non intero e x > 0;

Formula per una proprietà della funzione parte intera di x, per x non intero e x < 0;

[[z]] = [z];

[{z}] = 0;

[⌈z⌉] = ⌈z⌉;

[⌊z⌋] = ⌊z⌋;

[z] = [z];

[x + n] = [x] + n, per x e n non negativi e n intero;

[x] + [–x] = 0;

[x – [x]] = 0;

[x] + {x} = x per x positivo;

[x] – {x} = x per x negativo;

Formula per una proprietà della funzione parte intera di x.

 

Alcuni integrali definiti che coinvolgono la funzione:

Integrale definito che coinvolge la funzione parte intera, per α ≠ –1 e x ≤ 2, e in particolare Integrale definito che coinvolge la funzione parte intera, per x ≤ 2;

Integrale definito che coinvolge la funzione parte intera, per x < 2;

Integrale definito che coinvolge la funzione parte intera e in particolare Integrale definito che coinvolge la funzione parte intera;

Integrale definito che coinvolge la funzione parte intera;

Integrale definito che coinvolge la funzione parte intera, per Re(α) > 2;

Integrale definito che coinvolge la funzione parte intera;

Integrale definito che coinvolge la funzione parte intera, per α > 1.

 

La funzione è discontinua, quindi non può avere un’espansione in serie uniformemente convergente valida per ogni argomento, tuttavia ne esistono di due tipi, due valide per alcuni argomenti:

  • Espansione in serie della funzione parte intera di x, per x reale, positivo e non intero;
  • Espansione in serie della funzione parte intera di x, per x reale, negativo e non intero;
  • Espansione in serie della funzione parte intera di x, per a e b interi e a / b positivo e non intero;
  • Espansione in serie della funzione parte intera di x, per a e b interi e a / b negativo e non intero.

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