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x

Funzioni 

La funzione indicata come Massimo intero non superiore a x, secondo la notazione proposta da Kenneth Eugene Iverson nel 1962, o talvolta come [x], secondo la notazone introdotta da Gauss nel 1808 (v. notazione matematica), è il massimo intero non superiore a x. Talvolta è chiamata anche “parte intera di x”, ma il termine è improprio perché la parte intera di x coincide con il massimo intero non superiore a x solo per numeri non negativi: Massimo intero non superiore a –3.1 uguale a –4, mentre la parte intera di –3.1 è –3.

 

Formalmente si può definire la funzione in questo modo: Formula per la definizione del massimo intero non superiore a x, ovvero Massimo intero non superiore a x uguale a n se e solo se nx < n, con n intero.

 

Alcune proprietà:

Formula per una proprietà della funzione massimo intero non superiore;

Formula per una proprietà della funzione massimo intero non superiore;

Formula per una proprietà della funzione massimo intero non superiore;

Formula per una proprietà della funzione massimo intero non superiore;

Formula per una proprietà della funzione massimo intero non superiore;

Formula per una proprietà della funzione massimo intero non superiore, per n intero;

Formula per una proprietà della funzione massimo intero non superiore, per n intero e 0 < nx;

Formula per una proprietà della funzione massimo intero non superiore è 0 se x è intero, –1 altrimenti;

Formula per una proprietà della funzione massimo intero non superiore è 0 se x è intero, 1 altrimenti;

Formula per una proprietà della funzione massimo intero non superiore, per m e n interi e n > 0;

Formula per una proprietà della funzione massimo intero non superiore, per n intero positivo e y diverso da zero.

 

Alcune serie che coinvolgono la funzione:

Serie che coinvolge la funzione massimo intero non superiore, per m e n interi e n > 0;

Serie che coinvolge la funzione massimo intero non superiore, per n intero e maggiore di zero;

Serie che coinvolge la funzione massimo intero non superiore, per m e n interi maggiori di zero;

Serie che coinvolge la funzione massimo intero non superiore, per m e n interi maggiori di zero;

Serie che coinvolge la funzione massimo intero non superiore, per m intero diverso da zero.

 

La funzione è discontinua, quindi non può avere un’espansione in serie valida per ogni argomento, tuttavia ne esiste una, valida per argomenti non interi: Espansione in serie della funzione massimo intero non superiore.

 

Ramanujan propose come problema sul Journal of the Indian Mathematical Society la dimostrazioni tre identità coinvolgenti il massimo intero non superiore:

  • Identità che coinvolge la funzione massimo intero non superiore,

  • Identità che coinvolge la funzione massimo intero non superiore,

  • Identità che coinvolge la funzione massimo intero non superiore.

 

La figura seguente mostra parte del grafico della funzione Massimo intero non superiore a x.

 

Grafico della funzione massimo intero non superiore a x

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