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Abbondanti (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “abbondanti”, o talvolta “eccessivi”, i numeri naturali minori della somma dei loro divisori propri, ossia includendo 1, ma escludendo il numero stesso. In altri termini, un intero n è abbondante se σ(n) – n > n.

Per esempio 12, il minimo numero abbondante, è minore di 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16.

Il termine, come quello di “deficiente”, è leggermente impreciso, perché a essere “abbondante” o “deficiente” è la somma dei divisori, non il numero, ma ormai consolidato dall’uso.

 

Il concetto di numero abbondante sembra risalire all’antichità, anche se il termine si trova esplicitamente per la prima volta intorno al 100 d.C. in Nicomacus (60 – 120).

Nei secoli seguenti si diffuse l’opinione, espressa da Nicomacus, che fossero tutti pari, sinché Charles de Bouvelles (1470 – 1553), detto anche Carolus Bovillus, trovò il controesempio 45045, (uguale a 5 • 7 • 9 • 11 • 13), mentre la scoperta del minimo dispari, 945, spetta a Bachet de Méziriac.

 

Ogni multiplo di un numero abbondante o perfetto è abbondante.

 

Il prodotto di tre interi consecutivi maggiori di 2 è abbondante, come dimostrato da Charles de Neuveglise (Recreation mathematiques et physiques, Parigi 1696).

La dimostrazione è banale: uno dei numeri deve essere pari e uno multiplo di 3, quindi il prodotto è multiplo di 6, perfetto, ed è abbondante.

Il prodotto di due interi consecutivi non è invece sempre abbondante, ma le eccezioni sono relativamente poche.

 

Se un numero abbondante ha esattamente 3 fattori primi distinti, è 70 o della forma 6p, con p primo (J. Struve, 1823). Nessun numero abbondante dispari ha meno di 5 fattori primi, non necessariamente distinti.

 

Il minimo numero abbondante non multiplo di un quadrato è 30; il minimo dispari è 2205.

Il minimo numero abbondante e quadrato pari è 36; il minimo dispari è 11025.

 

Il minimo numero abbondante che non sia somma di un sottoinsieme dei suoi divisori, ossia non pseudoperfetto, è 70.

 

Ogni numero naturale maggiore di 991 può essere espresso come somma di numeri abbondanti; i numeri non esprimibili come somma di numeri abbondanti sono in tutto 496.

Ogni numero naturale maggiore di 20161 può essere espresso come somma di due numeri abbondanti; i numeri non esprimibili come somma di due numeri abbondanti sono in tutto 1456, che scendono a 962 interi se si tolgono i numeri abbondanti stessi, come dimostrarono per primi T.R. Parkin e L.J. Lander.

La dimostrazione è semplice: dati due numeri abbondanti primi tra loro, come 88 e 945, qualsiasi numero maggiore o uguale al loro prodotto può essere espresso come somma di un multiplo dell’uno e uno dell’altro, multipli che sono a loro volta numeri abbondanti. Restano quindi da esaminare i numeri minori di 88 • 945 = 83160 per trovare le eccezioni e questo è un compito banale per un calcolatore elettronico.

Ogni numero pari maggiore di 46 può essere espresso come somma di due numeri abbondanti.

 

Definendo A(x) = limite, per n tendente a infinito, della densità di interi con “abbondanza” almeno pari a x come il limite, per n tendente a infinito, della densità di interi con “abbondanza” almeno pari a x, Harold Davenport dimostrò nel 1933 che A(x) esiste ed è continua e strettamente crescente, ossia che esistono infiniti interi con abbondanza almeno pari a x per ogni valore di x maggiore di uno. I numeri abbondanti e perfetti corrispondono al caso x = 2.

La dimostrazione assicura che il valore esiste ed è maggiore di zero, ma trovarlo resta un problema difficile. (v. anche numeri superabbondanti).

C.R. Wall, P.L. Crews e D.B. Johnson dimostrarono nel 1977 che i numeri abbondanti hanno densità asintotica tra 0.2441 e 0.2909, poi nel 1998 Deléglise migliorò i limiti a 0.2474 e 0.2480. Quindi poco meno di un quarto degli interi è abbondante.

La densità asintotica dei numeri abbondanti dispari è compresa tra 0.00242 e 0.002071 (Mitsuo Kobayashi, Paul Pollack e Carl Pomerance, 2009).

 

La minima coppia di numeri abbondanti consecutivi è formata da 5775 e 5776; altre coppie iniziano con 5984, 7424, 11024, 21735, 21944, 26144, 27404, 39375, 43064, 49664, 56924, 58695, 61424, 69615, 70784, 76544, 77175, 79695, 81080, 81675, 82004, 84524, 84644, 89775, 91664, 98175, 103455, 104895, 106784, 109395, 111824, 116655.

Solo nel 1975 Laurent Hodges e Michael Reid trovarono una terna, che inizia con 171078830, e nel 2007 L. Peabody trovò una quaterna, che inizia con 36689206836378866312597986802568592633785433489374.

La minima quaterna nota inizia con 141363708067871564084949719820472453374 (Bruno Mishutka, 2007), un’altra con 44332284518072876748025358595062392066623 (M. Fiorentini, 2012); non è noto se ne esistano con numeri inferiori.

Una terna che inizia con un numero dispari comincia con 27523728059933744479478128774219545978059153664131775 (B. Trial, 2002); una minore inizia col minimo numero delle quaterne sopra citate.

Erdös dimostrò che esistono sequenze arbitrariamente grandi di interi consecutivi abbondanti; più precisamente che esistono due costanti c1 e c2 tali che per n abbastanza grande esistono almeno c1logloglogn interi consecutivi abbondanti, ma non c2logloglogn interi consecutivi abbondanti.

Costruire una sequenza di questo genere di lunghezza arbitraria è, in linea di principio, relativamente semplice. Iniziamo da un numero m1 perfetto o abbondante, come 6, poi cerchiamo un numero m2 abbondante e primo rispetto a m1: basta iniziare con 5 e moltiplicare via via per i primi superiori, sino a trovarne uno. Cerchiamo quindi un numero abbondante primo rispetto a m1 e m2, iniziando col minimo primo non ancora utilizzato e moltiplicando per i successivi. Proseguiamo fino a creare una sequenza di interi m1, m2, m3mn, abbondanti e primi tra loro, poi risolviamo il sistema di equazioni k ≡ 0 mod m1, k + 1 ≡ 0 mod m2, k + 2 ≡ 0 mod m3k + n – 1 ≡ 0 mod mn, sistema che avrà sempre una soluzione, per il cosiddetto “teorema cinese dei resti”, dato che i moduli sono tutti primi tra loro. I numeri k, k + 1 … k + n – 1 costituiscono una sequenza di n + 1 interi consecutivi, ciascuno multiplo di un numero perfetto o abbondante, quindi sono tutti abbondanti.

L’inconveniente è che in questo modo i moduli crescono in modo rapidissimo e di conseguenza anche il numero risultante sarà colossale. Per esempio, iniziando con m1 = 6 e procedendo come descritto, m2 è il prodotto dei primi da 5 a 31 e m3 quello dei primi da 37 a 1579: un numero di 656 cifre.

 

Esistono coppie di numeri abbondanti con la stessa somma dei divisori, come 54 e 56 (somma 120), 60 e 78 (somma 168), 66 e 70 (somma 144).

 

Qui trovate l'elenco dei numeri abbondanti sino a 1000.

Bibliografia

  • Honsberger, Ross;  Ingenuity in Mathematics, The Mathematical Association of America, 1970.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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