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{x}

Funzioni 

La funzione indicata come {x}, è la parte frazionaria di x, definita x – [x] pertanto –1 < {x} < 1.

 

La figura seguente mostra parte del grafico della funzione {x}.

 

Grafico della funzione {x}

 

 

La definizione può essere estesa ai numeri complessi tramite la formula {x + iy} = {x} + i{y}.

 

Alcune proprietà:

{z} = 0, per x intero;

{–z} = –{z} e quindi {z} + {–z} = 0;

{x} = x – ⌈x⌉ + 1, per x non intero e x > 0;

{x} = x – ⌈x⌉, per x intero o x ≤ 0;

{x} = x – ⌊x⌋, per x intero o x ≥ 0;

{x} = x – ⌊x⌋ – 1, per x non intero e x < 0;

Formula che coinvolge la funzione {x}, per x reale e x > 0;

Formula che coinvolge la funzione {x}, per x reale e x ≤ 0

Formula che coinvolge la funzione {x}, per x > 0;

Formula che coinvolge la funzione {x}, per x < 0;

{{z}} = {z};

{[z]} = 0;

{⌈z⌉} = 0;

{⌊z⌋} = 0;

{z} = {z};

{x + n}= {x}, per x e n non negativi e n intero;

{z – {z}} = {z};

[z] + {z} = z;

Formula che coinvolge la funzione {x};

Formula che coinvolge la funzione {x}, per m e n interi maggiori di 0.

 

Per a irrazionale le sequenze {na} e Sequenza distribuita uniformemente tra 0 e 1 sono distribuite in modo uniforme tra 0 e 1.

 

Alcuni integrali che coinvolgono la funzione:

Integrale che coinvolge la funzione {x} e in particolare, Integrale che coinvolge la funzione {x} per n intero positivo;

Integrale che coinvolge la funzione {x}, per n intero positivo;

Integrale che coinvolge la funzione {x};

Integrale che coinvolge la funzione {x}, per 1 < Re(a) < 2;

Integrale che coinvolge la funzione {x}, per Re(a) > 1 e a ≠ 2;

Integrale che coinvolge la funzione {x}.

 

La funzione è discontinua, quindi non può avere un’espansione in serie uniformemente convergente valida per ogni argomento, tuttavia ne esistono di due tipi, due valide per alcuni argomenti:

  • Espansione in serie della funzione {x}, per x reale, positivo e non intero;
  • Espansione in serie della funzione {x}, per x reale, negativo e non intero;
  • Espansione in serie della funzione {x}, per a e b interi e a / b positivo e non intero;
  • Espansione in serie della funzione {x}, per a e b interi e a / b negativo e non intero.

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