Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Nel 2000 Felice Russo definì la funzione Zt(n) come il minimo valore di m tale che Somma di φ(k) per k da 1 a m sia multiplo di n. La definizione ricalca quella della funzione di Smarandache μ(n) (II), con la somma dei tozienti al posto del fattoriale.

 

Russo dimostrò che:

  • la funzione assume tutti i valori interi maggiori di zero, ossia per ogni m > 0 esiste un valore di n tale che Zt(n) = m;

  • Limite inferiore per il valore di Zt(n);

  • Limite superiore per il valore di Zt(n);

  • la somma dei reciproci dei valori della funzione è divergente, ossia Limite della somma dei reciproci dei valori della funzione uguale a infinito;

  • Limite della somma dei valori della funzione divisi per l'argomento uguale a infinito.

 

La tabella seguente riporta i valori di Zt(n) per n fino a 1000.

n

Zt(n)

1

1

2

2

3

4

4

3

5

5

6

4

7

9

8

10

9

7

10

5

11

8

12

6

13

46

14

9

15

19

16

10

17

18

18

7

19

60

20

16

 

A partire da 514 vi è una sequenza di 6 valori crescenti della funzione:

Zt(514) = 58,

Zt(515) = 82,

Zt(516) = 116,

Zt(517) = 184,

Zt(518) = 226,

Zt(519) = 1370.

A partire da 544 vi è una sequenza di 6 valori decrescenti della funzione:

Zt(544) = 1189,

Zt(545) = 427,

Zt(546) = 417,

Zt(547) = 254,

Zt(548) = 112.

Si ignora se sequenze del genere possano avere qualsiasi lunghezza o se la lunghezza massima sia limitata.

 

Gli unici numeri noti per i quali Zt(n) = n sono 1, 2 e 5; se ve ne sono altri sono maggiori di 106 (M. Fiorentini, 2018).

 

I casi minori di 106 nei quali Zt(n) sia multiplo di Zt(n + 1) sono (M. Fiorentini, 2018):

Zt(33) = 36 e Zt(34) = 18,

Zt(45) = 24 e Zt(46) = 12,

Zt(74) = 88 e Zt(75) = 22,

Zt(85) = 207 e Zt(86) = 23,

Zt(89) = 48 e Zt(90) = 24,

Zt(107) = 384 e Zt(108) = 32,

Zt(171) = 138 e Zt(172) = 23,

Zt(224) = 190 e Zt(225) = 38,

Zt(241) = 56 e Zt(242) = 28,

Zt(463) = 390 e Zt(464) = 78,

Zt(649) = 92 e Zt(650) = 46,

Zt(885) = 152 e Zt(886) = 76,

Zt(1662) = 1040 e Zt(1663) = 104,

Zt(3685) = 1868 e Zt(3686) = 934,

Zt(3968) = 1932 e Zt(3969) = 161,

Zt(5884) = 4716 e Zt(5885) = 393,

Zt(9681) = 1784 e Zt(9682) = 892,

Zt(11715) = 15624 e Zt(11716) = 1302,

Zt(15787) = 644 e Zt(15788) = 322,

Zt(17241) = 476 e Zt(17242) = 238,

Zt(19604) = 14718 e Zt(19605) = 2453,

Zt(21434) = 7548 e Zt(21435) = 3774,

Zt(27943) = 6752 e Zt(27944) = 3376,

Zt(45321) = 1092 e Zt(45322) = 546,

Zt(50614) = 2448 e Zt(50615) = 816,

Zt(55757) = 45475 e Zt(55758) = 9095,

Zt(64187) = 19278 e Zt(64188) = 459,

Zt(69857) = 40502 e Zt(69858) = 3682,

Zt(74087) = 18072 e Zt(74088) = 9036,

Zt(74909) = 180369 e Zt(74910) = 3681,

Zt(81593) = 102474 e Zt(81594) = 51237,

Zt(83383) = 83140 e Zt(83384) = 8314,

Zt(88342) = 2156 e Zt(88343) = 1078,

Zt(90655) = 1544 e Zt(90656) = 772,

Zt(94672) = 2232 e Zt(94673) = 1116,

Zt(106377) = 423432 e Zt(106378) = 9828,

Zt(109705) = 39284 e Zt(109706) = 19642,

Zt(109755) = 25929 e Zt(109756) = 2881,

Zt(126295) = 260820 e Zt(126296) = 644,

Zt(137910) = 226644 e Zt(137922) = 3434,

Zt(144633) = 14469 e Zt(144634) = 689,

Zt(195989) = 169446 e Zt(195990) = 28241,

Zt(201555) = 1628 e Zt(201556) = 814,

Zt(214261) = 147756 e Zt(214262) = 73878,

Zt(242827) = 3096 e Zt(242828) = 1548,

Zt(288019) = 324138 e Zt(288020) = 3642,

Zt(312717) = 218010 e Zt(312718) = 21801,

Zt(392617) = 149864 e Zt(392618) = 74932,

Zt(394632) = 396488 e Zt(394633) = 6836,

Zt(398005) = 2288 e Zt(398006) = 1144,

Zt(528193) = 2636 e Zt(528194) = 1318,

Zt(596870) = 676347 e Zt(596871) = 15729,

Zt(657624) = 382500 e Zt(657625) = 22500,

Zt(685295) = 19692 e Zt(685295) = 9846,

Zt(737574) = 24132 e Zt(737575) = 12066,

Zt(755385) = 1680392 e Zt(755386) = 45416,

Zt(811707) = 530262 e Zt(811708) = 29459,

Zt(840835) = 144612 e Zt(840836) = 24102,

Zt(976361) = 26340 e Zt(976362) = 4390.

 

I casi minori di 106 nei quali Zt(n + 1) sia multiplo di Zt(n) sono (M. Fiorentini, 2018):

Zt(2) = 2 e Zt(1) = 1,

Zt(3) = 4 e Zt(2) = 2,

Zt(81) = 32 e Zt(80) = 16,

Zt(145) = 148 e Zt(144) = 37,

Zt(151) = 44 e Zt(150) = 22,

Zt(397) = 72 e Zt(396) = 36,

Zt(550) = 864 e Zt(549) = 288,

Zt(572) = 212 e Zt(571) = 106,

Zt(831) = 1040 e Zt(830) = 52,

Zt(1361) = 3312 e Zt(1360) = 1656,

Zt(1419) = 2268 e Zt(1418) = 567,

Zt(2247) = 384 e Zt(2246) = 192,

Zt(3904) = 320 e Zt(3903) = 160,

Zt(3985) = 16872 e Zt(3984) = 114,

Zt(4521) = 1724 e Zt(4520) = 862,

Zt(5263) = 1052 e Zt(5262) = 526,

Zt(6002) = 2384 e Zt(6001) = 1192,

Zt(7993) = 324 e Zt(7992) = 162,

Zt(9332) = 2324 e Zt(9331) = 1162,

Zt(10341) = 12512 e Zt(10340) = 184,

Zt(10373) = 35872 e Zt(10372) = 8968,

Zt(11586) = 7176 e Zt(11585) = 276,

Zt(14785) = 27699 e Zt(14784) = 9233,

Zt(15797) = 30052 e Zt(15796) = 683,

Zt(18203) = 1038 e Zt(18202) = 346,

Zt(28811) = 30885 e Zt(28810) = 435,

Zt(30173) = 1260 e Zt(30172) = 630,

Zt(33633) = 1152 e Zt(33632) = 576,

Zt(35503) = 3132 e Zt(35502) = 1566,

Zt(35595) = 684 e Zt(35594) = 342,

Zt(35912) = 1458 e Zt(35911) = 486,

Zt(49587) = 3128 e Zt(49586) = 1564,

Zt(61773) = 8064 e Zt(61772) = 2016,

Zt(69500) = 1352 e Zt(69499) = 676,

Zt(71823) = 1944 e Zt(71822) = 486,

Zt(72759) = 168575 e Zt(72758) = 6743,

Zt(79643) = 136615 e Zt(79642) = 1535,

Zt(93741) = 25952 e Zt(93740) = 12976,

Zt(127657) = 2592 e Zt(127656) = 1296,

Zt(138845) = 186438 e Zt(138844) = 1351,

Zt(141856) = 1932 e Zt(141856) = 966,

Zt(149469) = 20516 e Zt(149468) = 10258,

Zt(161953) = 177309 e Zt(161952) = 2189,

Zt(186945) = 1568 e Zt(186944) = 784,

Zt(215133) = 18584 e Zt(215132) = 9292,

Zt(224801) = 2432 e Zt(224801) = 1216,

Zt(240949) = 16124 e Zt(240948) = 8062,

Zt(293389) = 299488 e Zt(293388) = 18718,

Zt(295216) = 401184 e Zt(295215) = 1393,

Zt(334906) = 7272 e Zt(334905) = 3636,

Zt(337988) = 23484 e Zt(337987) = 11742,

Zt(384434) = 353532 e Zt(384433) = 6932,

Zt(424103) = 264800 e Zt(424102) = 132400,

Zt(513055) = 73124 e Zt(513054) = 36562,

Zt(546041) = 262890 e Zt(546040) = 5842,

Zt(589347) = 9236 e Zt(589346) = 4618,

Zt(614641) = 233208 e Zt(614640) = 1422,

Zt(628901) = 18864 e Zt(628900) = 9432,

Zt(648571) = 10120 e Zt(648570) = 2530,

Zt(649423) = 208923 e Zt(649422) = 1461,

Zt(664086) = 579376 e Zt(664085) = 2956,

Zt(712519) = 91760 e Zt(712518) = 45880,

Zt(777659) = 6786 e Zt(777658) = 2262,

Zt(836490) = 14076 e Zt(836489) = 2346,

Zt(883029) = 348336 e Zt(883028) = 2952,

Zt(917501) = 340400 e Zt(917500) = 4255,

 

Gli unici valori noti di n per i quali Zt(n) = φ(n) sono: 1, 40, 45, 90, 607, 1025, 1214, 2050, 5345, 10690, 14469, 28938, 34681, 56025, 69362, 90264, 112050, 238248; se ve ne sono altri, sono maggiori di 106 (M. Fiorentini, 2018).

 

Gli unici valori noti di n per i quali Zt(n) = Zt(n – 1) + Zt(n – 2) sono n = 1688 e n = 20151; se ve ne sono altri, sono maggiori di 106 (M. Fiorentini, 2018).

 

Gli unici valori noti di n per i quali Zt(n) = Zt(n + 1) + Zt(n + 2) sono n = 49, n = 1033, n = 2451 e n = 23454; se ve ne sono altri, sono maggiori di 106 (M. Fiorentini, 2018).

 

Tra gli altri problemi aperti:

  • non è noto se il valore assoluto della differenza tra i valori della funzione per argomenti consecutivi sia limitato;

  • non è noto se il rapporto tra i valori della funzione per argomenti consecutivi sia limitato;

  • non si conoscono valori di n per i quali Zt(n) = Zt(n – 1)Zt(n – 2) o Zt(n) = Zt(n + 1)Zt(n + 2) o Zt(n)Zt(n + 1) = Zt(n + 2)Zt(n + 3); se ve ne sono, sono maggiori di 106 (M. Fiorentini, 2018);

  • non si conoscono due interi consecutivi per i quali la funzione assuma lo stesso valore; se esistono, sono maggiori di 106 (M. Fiorentini, 2018);

  • non si sa se iterando la funzione, cioè applicandola ripetutamente al valore prodotto, si finisca in un ciclo o se per qualche valore iniziale i valori prodotti crescano senza limite.

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