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Super – Catalan (numeri)

Matematica combinatoria 

Nel 1992 Ira M. Gessel propose di chiamare “numeri super – Catalan” i numeri naturali della forma Formula per la definizione dei numeri super – Catalan. Tali numeri erano già stati studiati da Eugène Charles Catalan (Bruges, 30/5/1814 – Liegi, 14/2/1894), che nel 1974 aveva dimostrato che sono interi.

 

Alcuni valori particolari:

S0, 0 = 1;

Sm, n = Sn, m;

S0, n = Sn, 0 = Sn, n;

S1, n = Sn, 1 = 2Cn, dove Cn è l’n-esimo numero di Catalan.

 

Alcune formule per il calcolo dei numeri super – Catalan:

Formula per il calcolo dei numeri super – Catalan (Dan Rubenstein);

Formula per il calcolo dei numeri super – Catalan (K. von Szily, 1894);

Formula per il calcolo dei numeri super – Catalan (Ira M. Gessel, 1992);

Formula per il calcolo dei numeri super – Catalan (Ira M. Gessel, 1992).

 

La funzione generatrice dei numeri super Catalan è Funzione generatrice dei numeri super – Catalan (Ira M. Gessel, 1992).

 

Le tabelle seguenti mostrano i numeri super – Catalan per m e n fino a 20.

m \ n

0

1

2

3

4

5

0

1

2

6

20

70

252

1

2

2

4

10

28

84

2

6

4

6

12

28

72

3

20

10

12

20

40

90

4

70

28

28

40

70

140

5

252

84

72

90

140

252

6

924

264

198

220

308

504

7

3432

858

572

572

728

1092

8

12870

2860

1716

1560

1820

2520

9

48620

9724

5304

4420

4760

6120

10

184756

33592

16796

12920

12920

15504

11

705432

117572

54264

38760

36176

40698

12

2704156

416024

178296

118864

104006

110124

13

10400600

1485800

594320

371450

305900

305900

14

40116600

5348880

2005830

1179900

917700

869400

15

155117520

19389690

6843420

3801900

2801400

2521260

16

601080390

70715340

23571780

12406200

8684340

7443720

17

2333606220

259289580

81880920

40940460

27293640

22331160

18

9075135300

955277400

286583220

136468200

86843400

67964400

19

35345263800

3534526380

1009864680

459029400

279409200

209556900

20

137846528820

13128240840

3580429320

1556708400

908079900

653817528

m \ n

6

7

8

9

10

11

12

13

0

924

3432

12870

48620

184756

705432

2704156

10400600

1

264

858

2860

9724

33592

117572

416024

1485800

2

198

572

1716

5304

16796

54264

178296

594320

3

220

572

1560

4420

12920

38760

118864

371450

4

308

728

1820

4760

12920

36176

104006

305900

5

504

1092

2520

6120

15504

40698

110124

305900

6

924

1848

3960

8976

21318

52668

134596

354200

7

1848

3432

6864

14586

32604

76076

184184

460460

8

3960

6864

12870

25740

54340

120120

276276

657800

9

8976

14586

25740

48620

97240

204204

447304

1016600

10

21318

32604

54340

97240

184756

369512

772616

1679600

11

52668

76076

120120

204204

369512

705432

1410864

2939300

12

134596

184184

276276

447304

772616

1410864

2704156

5408312

13

354200

460460

657800

1016600

1679600

2939300

5408312

10400600

14

956340

1184040

1614600

2386800

3779100

6348888

11232648

20801200

15

2641320

3121560

4071600

5768100

8767512

14162904

24129392

43088200

16

7443720

8414640

10518300

14304888

20907144

32522224

53429368

92119600

17

21360240

23140260

27768312

36312408

51106352

76659528

121597872

202663120

18

62300700

64792728

74760840

94143280

127765880

185040240

283728368

457626400

19

184410072

184410072

204900080

248807240

326023280

456432592

677287072

1058261050

20

553230216

532740208

570793080

669205680

847660528

1148443296

1650887238

2501344300

m \ n

14

15

16

17

18

19

20

0

40116600

155117520

601080390

2333606220

9075135300

35345263800

137846528820

1

5348880

19389690

70715340

259289580

955277400

3534526380

13128240840

2

2005830

6843420

23571780

81880920

286583220

1009864680

3580429320

3

1179900

3801900

12406200

40940460

136468200

459029400

1556708400

4

917700

2801400

8684340

27293640

86843400

279409200

908079900

5

869400

2521260

7443720

22331160

67964400

209556900

653817528

6

956340

2641320

7443720

21360240

62300700

184410072

553230216

7

1184040

3121560

8414640

23140260

64792728

184410072

532740208

8

1614600

4071600

10518300

27768312

74760840

204900080

570793080

9

2386800

5768100

14304888

36312408

94143280

248807240

669205680

10

3779100

8767512

20907144

51106352

127765880

326023280

847660528

11

6348888

14162904

32522224

76659528

185040240

456432592

1148443296

12

11232648

24129392

53429368

121597872

283728368

677287072

1650887238

13

20801200

43088200

92119600

202663120

457626400

1058261050

2501344300

14

40116600

80233200

165815280

353026080

772244550

1731699900

3972723300

15

80233200

155117520

310235040

639859770

1357278300

2954076300

6583370040

16

165815280

310235040

601080390

1202160780

2475036900

5232935160

11338026180

17

353026080

639859770

1202160780

2333606220

4667212440

9593714460

20224587240

18

772244550

1357278300

2475036900

4667212440

9075135300

18150270600

37255818600

19

1731699900

2954076300

5232935160

9593714460

18150270600

35345263800

70690527600

20

3972723300

6583370040

11338026180

20224587240

37255818600

70690527600

137846528820

 

Tutti i numeri super – Catalan tranne S0, 0 = 1 sono pari, quindi l’unico primo è S1, 0 = S0, 1 = S1, 1 = 2.

Vedi anche

Numeri di Catalan.

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