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Fuss – Catalan (numeri di)

Matematica combinatoria  Teoria dei grafi 

I numeri di Fuss – Catalan prendono il nome da N.I. Fuss, che li studiò nel 1791 in relazione al problema di contare il numero di modi di dividere tramite diagonali un poligono in poligoni con numero fissato di lati, e Eugene Charles Catalan. Sono una generalizzazione dei numeri di Catalan.

 

Il numero di Fuss – Catalan Fn(m, k) è definito come Formula per la definizione dei numeri di Fuss – Catalan.

 

Il numero di alberi k-ari con n nodi è Formula per il numero di alberi k-ari con n nodi (v. numeri di alberi).

 

Il numero di cammini in un reticolo quadrato dall’origine al punto (mn, n) con passi orizzontali o verticali di un’unità, senza mai salire al di sopra della retta my = x, è Fn(m + 1, 1).

La figura seguente illustra i 12 cammini dall’origine al punto (6, 3) che non salgono mai al di sopra della retta 2y = x.

 

I 12 percorsi dal punto (0, 0) al punto (6, 3)

 

 

Se (m + 1)n = rk, il numero di cammini in un reticolo cubico dall’origine al punto (n, n, mn) con passi che aumentano di un’unità una sola delle coordinate e tali che per tutto il percorso myz e rxy + z, è Fn(m + 1, 1)Fk(r + 1, 1) (Chin-Hung Lin, 2011) e in particolare il numero di percorsi tali che per tutto il percorso myz e (m + 1)xy + z, è Fn(m + 1, 1)Fn(m + 2, 1).

 

Il numero di modi di dividere un poligono convesso di n(m – 2) + m lati in poligoni di m lati unendo i vertici con n diagonali che non si intersecano è Fn + 1(m – 1, 1).

La figura seguente illustra i 12 modi di dividere un ottagono in quadrilateri con due diagonali.

 

I 12 modi di dividere un ottagono in quadrilateri con due diagonali

 

 

Alcuni valori particolari:

F0(m, k) = 1;

F1(m, k) = k;

F2(m, 1) = m;

F(n, 0, k) = C(k, n);

Fn(2, 1) = Cn, dove Cn è l’n-esimo numero di Catalan;

Fn(2, 4) = Cn + 3 – 2Cn + 2, dove Cn è l’n-esimo numero di Catalan;

Fn(m, 0) = 0;

Fn(m, m) = Fn + 1(m, 1) e in particolare Fn(2, 2) = Fn + 1(2, 1) = Cn + 1, dove Cn è l’n-esimo numero di Catalan;

 

Alcune formule per il calcolo dei numeri di Fuss – Catalan:

Fn(m, k) = Fn(m, k – 1) + Fn – 1(m, m + k – 1);

Formula per il calcolo dei numeri di Fuss – Catalan, dove Numero di Lobb generalizzato L(k, m, n) è un numero di Lobb generalizzato, se k – 1 è multiplo di m;

Formula per il calcolo dei numeri di Fuss – Catalan;

Formula per il calcolo dei numeri di Fuss – Catalan;

Formula per il calcolo dei numeri di Fuss – Catalan;

Formula per il calcolo dei numeri di Fuss – Catalan;

Formula per il calcolo dei numeri di Fuss – Catalan.

 

Per i numeri di Fuss – Catalan vale un’identità analoga a quella di David Jonah (v. numeri di Catalan): Identità che coinvolge i numeri di Fuss – Catalan (Chin-Hung Lin, 2011).

 

Nel 2018 Wun-Seng Chou, Tian-Xiao He e Peter J.-S. Shiue dimostrarono che gli unici numeri di Fuss – Catalan primi per n > 0, m > 1, k > 0 sono:

  • F1(m, k) = k, se k è primo;

  • F2(m, 1) = m, se m è primo;

  • F(2, (p – 1) / 2, 2), se p è un primo dispari;

  • F2(2, 1) = 5.

Vedi anche

Numeri di Catalan.

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