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Friedman ordinati (numeri di)

Rappresentazione dei numeri 

Si chiamano “numeri di Friedman ordinati” i numeri naturali che possono essere rappresentati concatenando le cifre e combinandole con le quattro operazioni e l’elevamento a potenza, senza però alterarne l’ordine, tranne ripetendo esattamente il numero.

Per esempio, sono numeri di Friedman ordinati 127 = –1 + 27, 3685 = (36 + 8) • 5 e 2502 = 2 + 502, mentre non lo è 10, come tutte le potenze di 10, perché 10 = 10 non vale.

 

I numeri di Friedman ordinati minori di 10000 sono:

  • 127 = –1 + 27,

  • 343 = (3 + 4)3,

  • 736 = 7 + 36,

  • 1285 = (1 + 28) • 5,

  • 2187 = (2 + 18)7,

  • 2502 = 2 + 502,

  • 2592 = 25 • 92,

  • 2737 = (2 • 7)3 – 7,

  • 3125 = (31 + 2)5, = (3 + 1 • 2)5,

  • 3685 = (36 + 8) • 5,

  • 3864 = 3 • (–8 + 6)4,

  • 3972 = 3 + (9 • 7)2,

  • 4096 = (4 + 0 • 9)6,

  • 6455 = (64 – 5)5.

 

Il concetto può essere esteso ad altre basi.

Michael Brand dimostrò nel 2013 che in base 2, 3 e 4 i numeri di Friedman ordinati hanno densità 1, ovvero i numeri non di Friedman ordinati si fanno via via più rari e la probabilità che un intero tra 1 e n sia un numero di Friedman tende a 1 al crescere di n. Probabilmente hanno densità 1 in qualsiasi base, ma per ora non se ne conosce una dimostrazione.

 

In ogni base tutti i numeri errori di stampa sono numeri di Friedman ordinati.

 

In base 10 l’unico numero di Friedman ordinato pandigitale noto, senza lo zero, è 268435179 = –268 + 43 • 5 – 17 – 9.

 

In ogni base ogni numero pluriunitario con abbastanza cifre è un numero di Friedman ordinato (M. Fiorentini, 2018):

  • in base 2 ogni numero pluriunitario con almeno 7 cifre è un numero di Friedman ordinato; per 7 cifre vale (1)7 = (11 – 1)111 – 1;

  • in base 3 ogni numero pluriunitario con almeno 12 cifre è un numero di Friedman ordinato; per 12 cifre vale (1)12 = ((11 – 1)^(111 – 1) – 1) / (11 – 1 – 1);

  • in base 4 ogni numero pluriunitario con almeno 15 cifre è un numero di Friedman ordinato; per 15 cifre vale (1)15 = ((11 – 1)^(11 + 11 + 11) – 1 * 1) / (11 – 1 – 1);

  • nelle basi b da 5 a 8 ogni numero pluriunitario con almeno b + 7 cifre è un numero di Friedman ordinato; per b + 7 cifre vale (1)(b + 7) = ((11 – 1)^(11 + 11 – 1...) – 1) / (11 – 1 – 1), dove l’esponente termina con b – 5 volte “– 1”;

  • nelle basi b pari maggiori di 8 ogni numero pluriunitario con almeno (b + 12) / 2 cifre è un numero di Friedman ordinato; per (b + 12) / 2 cifre vale (1)((b + 12) / 2) = ((11 – 1)^(11 – 1...) – 1 * 1) / (11 – 1 – 1), dove l’esponente termina con (b – 10) / 2 volte “– 1”;

  • nelle basi b dispari maggiori di 8 ogni numero pluriunitario con almeno (b + 11) / 2 cifre è un numero di Friedman ordinato; per (b + 11) / 2 cifre vale (1)((b + 11) / 2) = ((11 – 1)^(11 – 1...) – 1) / (11 – 1 – 1), dove l’esponente termina con (b – 9) / 2 volte “– 1”;

  • in tutte le basi per numeri maggiori di cifre si somma ripetutamente 1 all’esponente; per esempio in base 10, (1)(12) = ((11 – 1)^(11 + 1) – 1 * 1) / (11 – 1 – 1).

 

In ogni base ogni numero formato da abbastanza cifre uguali maggiori di uno è un numero di Friedman ordinato (M. Fiorentini, 2018):

  • in base 2 ogni numero formato da almeno 7 cifre uguali (ovviamente uguali a 1) è un numero di Friedman ordinato, come mostrato sopra;

  • in base 3 ogni numero formato da almeno 20 cifre uguali è un numero di Friedman ordinato; per 20 cifre vale (a)(20) = a * (((aa – a) / a)^((aaa + aa + aa – a) / a) – a / a) / (aa – a – a);

  • in base 4 ogni numero formato da almeno 18 cifre uguali è un numero di Friedman ordinato; per 18 cifre vale (a)(18) = a * (((aa – a) / a)^((aaa – a – a – a) / a) – a / a) / (aa – a – a);

  • in base 5 ogni numero formato da almeno 18 cifre uguali è un numero di Friedman ordinato; per 18 cifre vale (a)(18) = a * (((aa – a) / a)^((aa + aa + aa) / a) – a / a) / (aa – a – a);

  • in base 6 ogni numero formato da almeno 20 cifre uguali è un numero di Friedman ordinato; per 20 cifre vale (a)(20) = a * (((aa – a) / a)^((aa + aa + aa – a) / a) – a / a) / (aa – a – a);

  • nelle basi b da 7 a 12 ogni numero formato da almeno b + 9 cifre uguali è un numero di Friedman ordinato; per b + 9 cifre vale (a)(b + 9) = a * (((aa – a) / a)^((aa + aa – a...) / a) – a / a) / (aa – a – a), dove al numeratore dell’esponente “– a” è ripetuto b – 7 volte;

  • nelle basi b pari maggiori di 12, ogni numero formato da almeno (b + 16) / 2 cifre uguali è un numero di Friedman ordinato in base b; nel caso di (b + 16) / 2 cifre abbiamo (a)((b + 16) / 2) = a * ((aa / a – a / a) / a)^((aa – a...) / a) – a / a) / (aa – a – a), dove l’esponente termina con (b – 14) / 2 volte “– 1”;

  • nelle basi b dispari maggiori di 12, ogni numero formato da almeno (b + 15) / 2 cifre uguali è un numero di Friedman ordinato in base b; nel caso di (b + 15) / 2 cifre abbiamo (a)((b + 15) / 2) = a * (((aa – a) / a) / a)^((aa – a...) / a) – a / a) / (aa – a – a), dove l’esponente termina con (b – 13) / 2 volte “– 1”;

  • in tutte le basi per numeri maggiori di cifre si somma ripetutamente a al numeratore dell’esponente; per esempio, per b pari e maggiore di 12 (a)((b + 16) / 2 + 1) = a * ((aa / a – a / a) / a)^((aa + a – a...) / a) – a / a) / (aa – a – a), dove l’esponente termina con (b – 14) / 2 volte “– 1”.

 

La tabella seguente riporta i numeri di Friedman ordinati noti nelle basi fino a 16, solo quelli minori di 105 in base 10 (Tutti i numeri sono scritti nella base indicata nella colonna di sinistra, omessa per semplicità).

Base

Numeri di Friedman ordinati

2

11011 = 110 + 11, 111111 = (11 + 1)11 – 1, 1111101 = (11 + 1 + 1)10 + 1, 1111110 = (1 + 1)111 – 10, 1111111 = (1 + 1)111 – 1 • 1, 11010110 = 11010 + 1 – 10, 11010111 = 11010 + 1 – 1 • 1, 11011000 = 11011 + 0 + 0 + 0, 11011001 = 11011 + 0 + 0 + 1, 11011010 = 11011 + 0 + 10, 11011011 = 11011 + 0 + 11, 11011100 = 11011 + 100, 11011101 = 11011 + 101, 11011110 = 11011 + 110, 11011111 = 11011 + 111, 11101111 = 11101 – 11 – 1, 11110010 = –1 + 11100 + 1 + 0, 11110011 = 1 + 11100 + 1 – 1, 11110100 = 1 + 11101 + 0 + 0, 11110101 = 1 + 11101 + 0 + 1, 11110110 = 1 + 11101 + 10, 11110111 = 1 + 11101 + 11, 11111110 = (11 + 1)11 + 1 – 10, 11111111 = (11 + 1)11 + 1 – 1 • 1, 100011111 = 100011 + 1 – 1 – 1, 101010111 = (101 + 0 + 10)11 • 1, 101101011 = (1011 – 0)10 • 11, 101110111 = (1 + 0 + 1 + 1) • 10111, 101111101 = (10111 – 1) • (10 + 1), 101111110 = 10111 • 11 – 10, 110101110 = (11010 + 1 – 1) • 10, 110101111 = 11010 + 1 • (1 + 1) – 1, 111100101 = 111 + 100 • 10 – 1, 111100110 = (1 + 1 + 1)100 + 1 • 10, 111100111 = 111 + 100 • (1 + 1) + 1, 111101010 = 11110 • 1010, 111111001 = –111 + (1 + 1)1001, 111111011 = 11 • (–1 + 1110)1 + 1, 111111100 = (111 + 1)11 – 100, 111111101 = (111 + 1)11 – 10 – 1, 111111110 = (111 + 1)11 – 1 – 1 – 0, 111111111 = (11 – 1)111 + 1 + 1 – 1, 1000110111 = (1000 + 1)10 • 111, 1000111110 = (1000 • 11)1 + 1 – 10, 1000111111 = (1000 • 11)1 + 1 – 1 • 1, 1001101100 = –100 – 1 + 101100, 1001101111 = –1 + 0 + 0 – 1 + 10111 + 1, 1001110001 = (100 + 1)11 + 0 + 0 + 0 + 1, 1001110010 = (100 + 1)1 • 100 + 1 + 0, 1001110011 = (100 + 1)1 • 100 + 1 + 1, 1001111111 = (100 + 1) • (1 + 1)111 – 1, 1010101110 = (101 + 0 + 10)11 • 10, 1010101111 = 10 • (10 + 101)11 + 1, 1011010010 = 10 • (–1 + 10100)10, 1011010110 = (1011 + 0)10 • 110, 1011010111 = (10 + 1)10 • (10 + 1) –1 – 1, 1011011000 = –1 + 0 + (1 + 10)110 + 0 + 0, 1011011001 = –1 + 0 + (1 + 10)110 + 0 + 1, 1011011010 = –1 + 0 + (1 + 10)110 + 10, 1011011011 = –1 + 0 + (1 + 10)110 + 11, 1011011100 = 10 + 1 + (10 + 1)110 + 0, 1011011101 = 10 + 1 + (10 + 1)110 + 1, 1011011110 = –1 + 110 + 11110, 1011011111 = ((10 + 1)101 + 1 + 1) • 11, 1011101101 = (10111 + 0) • 110 – 1, 1011101110 = (10111 + 0 • 1) • 110, 1011101111 = 10 • 11 • 10111 + 1, 1011111101 = (10(1 + 1)11 – 1) • (10 + 1), 1011111110 = (10111 • 11 – 1) • 10, 1011111111 = (1 + 0 + 1)(1 + 1)11 • 11 – 1, 1100001111 = 1110010 – 10 + 1, 1100011110 = (101001 + 1 – 1) • 10, 1101011100 = (11010 + 1 – 1) • 100, 1101011111 = (110 * 10)^11 / (1 + 1), 1101101011 = (110 + 1) • (101 + 0)11, 1101111011 = (1 + 10)1 + 11 • 1011, 1101111100 = 1 + 1011 • 11100, 1101111111 = (1 + 1 + 0)111 • 111 – 1, 1110111111 = ((1 + 1)101 – 1)1 + 1 – 1 – 1, 1111001011 = –1 + 11 • 100101 + 1, 1111001100 = (1 + 1 + 1)100 + 1 • 100, 1111010100 = 11110 • 10100, 1111010101 = 1 + 111010 • 101, 1111100101 = –1111 + 100101, 1111100111 = ((1 + 1)11 + 10 + 0)11 – 1, 1111101001 = (1 + 1 + 1110)10 + 0 + 1, 1111101011 = 1 + 1 + 1 • 1 + 101011, 1111101111 = 111 + (–1 + 1011)11, 1111110110 = (1 + 1) • 11 • 110110, 1111111000 = ((1 + 1)111 – 1) • 1000, 1111111001 = –111 + (1 + 1)1 + 1001, 1111111010 = –11 • (1 + 1) + (1 + 1)1010, 1111111011 = –11 – 1 + (11 + 1)101 – 1, 1111111100 = ((1 + 1)(1 + 1)11 – 1 • 100, 1111111101 = ((1 + 1)11 • 11 – 1) • 10 – 1, 1111111110 = ((1 + 1 • 1)11 • 11 – 1) • 10, 1111111111 = ((1 + 1)111 + 11 – 1 • 1 • 1

3

1212 = 1 + 212, 10122 = 1012 – 2, 11202 = (1 + 1)20 • 2, 12022 = –1 + (20 • 2)2, 100111 = (10 + 0 + 1)11, 112020 = (1 + 1)20 • 20, 112112 = 1121 + 1 • 2, 121021 = –1 + 2102 – 1, 121022 = 1 + 2102 – 2, 200222 = (2 + 0 + 0) • 222, 212011 = (21 – 2)0 + 11, 220222 = (220 + 2)2 – 2, 221021 = 2 • (2110 – 2), 221102 = 2 • 211 + 0 + 2

4

123 = (1 + 2)3, 3123 = 3 + 123, 11313 = 113 • 1 • 3, 12233 = –1 + 2 • (2 • 3)3, 13222 = 132 • 22, 13332 = (–1 + 3)3 • 3 – 2, 23113 = –2 + 3(1 + 1) • 3, 23121 = (23 + 1)2 + 1, 23123 = 2 + 31 • 2 • 3, 31323 = 31 + 3 • 23, 33223 = 3 + ((3 + 2) • 2)3, 33312 = (3 + 3) • 312

5

224 = 22 + 4, 1242 = 1 + 242, 1433 = 14^3 / 3, 2333 = (–2 + 3 • 3)3, 3422 = 3 + 422, 13044 = (1 + 3)0 + 4 • 4, 21232 = –2 + 1232, 21311 = 2 • (–1 + 311), 21313 = 2 • (13 + 1)3, 22402 = 2 + (2 • 40)2, 23343 = –2 – 3 • (3 • 4)3, 23403 = (23 + 4 + 0)3, 31143 = (3 – 1)–1 + 4 • 3, 32222 = 3^((22 + 2) / 2), 34043 = (3 + 4)0 + 4 – 3, 34101 = (3 + 4)10 – 1, 34212 = 34 • 212, 43234 = 43 • 23 + 4, 44233 = –4 + 42 + 3 • 3, 44242 = 44 • (2 + 4) • 2

6

24 = 24, 52 = 25, 143 = –1 + 43, 2212 = 2(2 + 1)2, 2402 = 2 + 402, 2515 = –2 + 5–1 + 5, 3213 = 32 + 1 + 3, 4415 = 44 + 1 – 5, 4424 = 4^(4 + 2) / 4, 4432 = 4 + 43 + 2, 5343 = 5 • 34 • 3, 5432 = (54 – 3) • 2, 5442 = 5^4 * 4 / 2, 12144 = (12 – 1) • 44, 12522 = (–1 + 25)2 • 2, 13132 = (13 + 1)3 • 2, 13252 = (–1 + 3)2 • 5 • 2, 14043 = (–1 + 4 + 0)4 + 3, 15324 = (–1 + 5) • (3 + 2)4, 21302 = 2 + 1302, 22245 = 2 • (2 – 2) + 45, 22255 = 2 + 2 + 2 + 55, 22355 = 22 • 3 + 55, 22452 = 2 • (2 • 4 • 5)2, 23324 = (2 + 33)2 • 4, 23325 = 233 – 2 • 5, 23333 = 233 – 3 – 3, 23343 = (2 + 3 • 3 + 4)3, 23344 = 23^3 + 4 / 4, 23351 = 233 + 5 – 1, 23353 = 2 • 3 + (3 • 5)3, 30542 = (3 + 0 + 5)4 – 2, 30543 = (3 + 5)4 – 30, 30544 = ((–3 + 0 + 5) • 4)4, 35343 = 35 • (3 + 4) • 3, 35405 = –3 + 5 • 40 + 5, 35415 = 3 + 5 • 41 • 5, 53430 = 5 • 34 • 30, 54413 = (54 • 4 – 1) • 3, 54433 = (54 • 4 + 3) • 3, 55515 = –5 • 5 + (5 + 1)5, 55553 = (5 / 5 + 5)^5 – 3

7

144 = (–1 + 4)4, 514 = (5 – 1)4, 1544 = –1 + 54 – 4, 1545 = 1 + 54 – 5, 1551 = –1 + 55 – 1, 1552 = 1 • (5 • 5)2, 1553 = 1 + 5 • 53, 2422 = –2 + 422, 2662 = 26 + 6 – 2, 3464 = –34 + 64, 6243 = (6 / 2)^(4 + 3)

8

33 = 33, 363 = 3^6 / 3, 1326 = 132 • 6, 1332 = 1 + 33 • 2, 2342 = (2 + 3)4 • 2, 2534 = (2 + 5)3 • 4, 2662 = (2 / 6)^(–6) * 2, 4217 = 4 + (2 + 1)7, 4654 = 4 • (–6 + 54), 6065 = (–60 + 6)5, 7246 = (7 – 2)4 • 6

9

314 = (3 + 1)4, 2086 = 20 + 8 • 6, 2472 = –2 + 472, 2737 = –27 + 37, 3254 = –3 + (2 + 5)4

10

127 = –1 + 27, 343 = (3 + 4)3, 736 = 7 + 36, 1285 = (1 + 28) • 5, 2187 = (2 + 18)7, 2502 = 2 + 502, 2592 = 25 • 92, 2737 = (2 • 7)3 – 7, 3125 = (3 + 1 • 2)5, 3685 = (36 + 8) • 5, 3864 = 3 • (– 8 + 64), 3972 = 3 + (9 • 7)2, 4096 = (4 + 0 • 9)6, 6455 = (64 – 5) • 5, 11264 = 11 • 26 + 4, 11664 = 1 * 1 * 6^6 / 4, 12850 = (1 + 28) • 50, 13825 = 1 + (3 • 8)–2 + 5, 14641 = (1 + 4 + 6)4 • 1, 15552 = (15 + 5)5 • 2, 15585 = 1 • (55 – 8) • 5, 15612 = – 1 + 56 – 12, 15613 = 1 + 56 – 13, 15617 = –1 + 56 – 1 • 7, 15618 = 1 + 56 – 1 • 8, 15621 = –1 + 56 – 2 – 1, 15622 = 1 + 56 – 2 – 2, 15623 = –1 + 56 + 2 – 3, 15624 = 1 + 56 + 2 – 4, 15626 = 1 + 56 • 2 – 6, 15632 = 1 + 56 + 3 • 2, 15633 = – 1 + 56 + 3 • 3, 15642 = 1 + 56 + 42, 15645 = 1 • 56 + 4 • 5, 15655 = 1 • 5 • (6 + 55), 15656 = 1 + 56 + 5 • 6, 15662 = 1 + 56 + 62, 15667 = 1 • 56 + 6 • 7, 15688 = –1 + 56 + 8 • 8, 15698 = 1 + 56 + 9 • 8, 16377 = (1 + 6 – 3)7 – 7, 16384 = 163 • (8 – 4), 16447 = – 1 + 64 + 47, 16875 = 1 • 68 + 75, 17536 = 1 + 75 + 36, 18432 = 18 • 43 + 2, 19453 = 19 • 45 – 3, 19683 = 1 • (9 – 6)8 • 3, 19739 = (–1 + 9) • 7 + 39, 23328 = (2 • 33)2 • 8, 24546 = (2 + 4) • (–5 + 46), 24576 = (2 / 4)^(–5 – 7) * 6, 26244 = (2 / 6)^(–2 * 4) * 4, 26364 = 26^3 * 6 / 4, 27639 = 27 • 63 – 9, 28224 = (2 + 82)2 • 4, 28671 = (2 / 8)^(–6) * 7 – 1, 29282 = 2 * (9 + 2)^(8 / 2), 29524 = (2 * 9^5 – 2) / 4, 32765 = –3 + (2 • 7 – 6)5, 32765 = –3 + (2 • 7 – 6)5, 32768 = (3 – 2 + 7)^6 / 8, 32771 = 3 + 27 + 7 + 1, 32785 = 3 + 2 • 7 + 85, 34425 = 34 • 425, 35721 = 35 • 7 • 21, 36850 = (36 + 8) • 50, 37179 = 37 • (1 + 7 + 9), 38856 = (38 – 85) • 6, 39283 = 39 • 2 – 83, 39342 = (39 – 3 • 4) • 2, 39343 = 39 + 343, 39358 = 39 • (–3 + 5) – 8, 39363 = 3^9 / 3 * 6 – 3, 39366 = 3^9 / (–3 + 6) * 6, 39369 = 3 + 93 • 6 • 9, 39372 = (3 + 9 • 37) • 2, 39382 = ((3 • 9)3 + 8) • 2, 43775 = (4 • 37 + 7) • 5, 45632 = –45 + 63 • 2, 45927 = ((4 + 5) • 9)2 • 7, 45947 = 4 • 5 + 94 • 7, 46626 = –4 + 66 – 26, 46630 = 4 + 66 – 30, 46632 = –4 • 6 + 63 • 2, 46633 = 4 + 66 – 33, 46644 = 4 + 66 – 4 • 4, 46648 = 4 * 6^6 / 4 – 8, 46651 = –4 + 6 • 65 – 1, 46652 = –4 + (6 • 6)5 – 2, 46655 = 4 + 6 • 65 – 5, 46656 = (–4 • 6 + 6 • 5)6, 46660 = 4 + 66 + 6 • 0, 46663 = 4 + 66 + 6 – 3, 46673 = –4 + 66 + 7 • 3, 46688 = (4 * 6^6 / 8) * 8, 52488 = (5 + 2 – 4)8 • 8, 59052 = 5 + 90 + 5 – 2, 63945 = 63 • (–9 + 45), 64550 = (64 – 5) • 50, 65471 = –65 + 47 + 1, 66339 = (6 • 6)3 + 39, 67234 = 6 + 72 + 3 • 4, 69984 = 6^(–9 / 9 + 8) / 4, 98415 = 98 – 4 • 15

11

2345 = 2 + 3 • 45, 3094 = (–30 + 9)4, 48A2 = 4 + (8 • A)2, 4A38 = 4 + A + 38

12

346 = 34 • 6, 1229 = 1 + 22 + 9, 122B = 1 + 2 + 2B, 1544 = 1 • 54 • 4, 1B53 = (–1 + B + 5)3, 2454 = –2 + 45 • 4, 2525 = 252 • 5, 2942 = (–2 + 9)4 • 2, 5513 = 55 • 1 • 3

13

1559 = 1 • 55 – 9, 1565 = 1 * 5^6 / 5, 7166 = 7 + (–1 + 6)6, 75C4 = (7 – 5)C • 4

14

135 = 1 • 35, 144 = 1 • 44, 1196 = (1 + 1)9 • 6, 1832 = (18 • 3)2, 2569 = (–2 + 5)6 • 9, 2D93 = 2D – 9 • 3, 2DA3 = 2D – A + 3, 2DAD = 2D + A – D, 2DC0 = 2D + C + 0, 2DC1 = 2D + C + 1, 2DC2 = 2D + C + 2, 2DC3 = 2D + C + 3, 2DC4 = 2D + C + 4, 2DC5 = 2D + C + 5, 2DC6 = 2D + C + 6, 2DC7 = 2D + C + 7, 2DC8 = 2D + C + 8, 2DC9 = 2D + C + 9, 2DCA = 2D + C + A, 2DCB = 2D + C + B, 2DCC = 2D + C + C, 2DCD = 2D + C + D

15

336 = –3 + 36, 339 = 3–3 + 9, 12B3 = (1 + 2) • B3, 2602 = 2 + 602, 2662 = (–2 + 6)6 • 2, 3839 = (3 + 8)3 • 9, 496E = 4 + (–9 + E)6, D0E2 = E02 – D

16

3342 = (3 • 3)4 • 2, 4D39 = –4 + D3 • 9, 55C7 = 55 + C • 7, E695 = –E – 6 + 95

 

Utilizzando i numeri romani, qualsiasi numero naturale è un numero di Friedman ordinato: si tratta solo di inserire i simboli di addizione e sottrazione nei punti opportuni; per esempio, LIX = L – I + X, quindi si richiede almeno una delle operazioni sia diversa da addizione e sottrazione.

In questo caso non si utilizzano i simboli per le cifre superiori a 1000, quindi il massimo numero considerato è 3888 = MMMDCCCLXXXVIII.

 

I numeri di Friedman ordinati in notazione romana noti (M. Fiorentini, 2018, salvo diversa indicazione):

75 = L / X * XV (Bryce Herdt),

84 = LX / X * XIV (Alan Frank),

132 = CX / X * XII,

135 = (C – X) / X * XV,

180 = C / L * (X * X – X),

231 = (C / C + XX) * XI,

255 = (C / C + L) * V,

256 = (CC / L)^(V – I),

380 = (–C / C + C / L * X) * XX,

429 = (CD – X) / X * (I + X),

484 = (CDL – X) / X * (X + I^V),

490 = C * (D – X) / C,

539 = (D / X – X / X) * (I + X),

625 = (D / C)^(–X / X + V),

750 = D / C * CL,

840 = DC / C * CXL,

890 = D * CC / C – X – C,

990 = C * (M – X) / C,

1187 = –M + (C / L + (X / X)^X)^VII,

1320 = MC / C * CXX,

1331 = MC / C * CX / X * XI,

1350 = (M – C) / CL,

1672 = (M / D + CL) * (X + X^(I – I)),

1964 = (M – CM / L) * X / V,

2187 = (M / M + C / L * (X / X)^X)^VII,

2310 = MMC / C * CX,

2505 = (M / M + D) * V,

3125 = (M / MM * C / X)^(X – V).

 

Da molti di questi se ne possono ricavare vari altri, aggiungendo cifre in testa o in coda; per esempio, da 75 = L / X * XV si ricavano 76 = L / X * XV + I, 176 = C + L / X * XV + I1075 = M + L / X * XV + I ecc..

Vedi anche

Numeri di Friedman.

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