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Friedman (numeri di)

Rappresentazione dei numeri 

Si chiamano “numeri di Friedman” i numeri naturali che possono essere rappresentati concatenando le loro cifre e combinandole con le quattro operazioni e l’elevamento a potenza, in qualsiasi ordine, tranne che ripetendo esattamente il numero.

Per esempio, sono numeri di Friedman 289 = (8 + 9)2, e 688 = 8 • 86, mentre non lo è 10, come tutte le potenze di 10, perché 10 = 10 non vale. Non vale neppure far iniziare un numero con degli zeri, perché altrimenti ogni numero naturale sarebbe un numero di Friedman; per esempio, 00123 = 100 + 23 e 0123 = 120 + 3.

 

Il nome viene da Erich Friedman, che fu il primo a considerarli nel 2000.

 

I numeri di Friedman minori di 1000 sono:

  • 25 = 52,

  • 121 = 112,

  • 125 = 51 + 2,

  • 126 = 61 • 2,

  • 127 = 27 – 1,

  • 128 = 28 – 1,

  • 153 = 31 • 5,

  • 216 = 61 + 2,

  • 289 = (8 + 9)2,

  • 343 = (3 + 4)3,

  • 347 = 73 + 4,

  • 625 = 56 – 2,

  • 688 = 8 • 86,

  • 736 = 36 + 7.

 

Non si conosce un metodo per stabilire se un numero sia di Friedman o meno migliore di provare tutte le possibili combinazioni di cifre e operazioni e dato un numero di Friedman di parecchie cifre, può essere arduo trovare come ottenerlo.

 

A partire da un numero naturale n qualsiasi, si possono concatenare cifre a destra in modo da ottenere un numero di Friedman:

  • si può ottenere un numero di Friedman concatenando a n 00000000019683, perché il numero ottenuto è n • 1014 + 19683 = n • 1014 + 39 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 (Ron Kaminsky);

  • si può ottenere un numero di Friedman concatenando a n 12588304, perché il numero ottenuto è n • 108 + 12588304 = n • 108 + 35482 (Brendan Owen);

  • si può ottenere un numero di Friedman concatenando a n 46656, perché il numero ottenuto è n • 105+ 146656 = n • (4 + 6)5 + 66 (Mike Reid).

Esistono pertanto infiniti numeri di Friedman primi: infatti il primo metodo permette di costruire una progressione aritmetica di numeri di Friedman della forma n • 1014 + 19683, che, per il teorema di Dirichlet, contiene infiniti numeri primi. Costruzioni analoghe non sono possibili per gli altri due metodi, perché i numeri generati sono tutti pari.

 

Erich Friedman dimostrò che a partire da un numero naturale qualsiasi, si possono concatenare cifre a sinistra in modo da ottenere un numero di Friedman. In particolare, dato un numero n di m cifre si può ottenere un numero di Friedman concatenandogli a sinistra 25(0)m, perché il numero ottenuto è esprimibile come (5(0)m)2 + n. Per esempio, partendo da 123 otteniamo il numero di Friedman 25000123 = 50002 + 123.

Dalla dimostrazione di Friedman segue che esistono sequenze arbitrariamente lunghe di numeri di Friedman consecutivi.

 

Per n maggiore di 60 vi è sempre un numero di Friedman tra n e 2n: per n fino a 688 bisogna verificare nell’elenco riportato sopra, poi basta osservare che si possono aggiungere zeri a piacere in coda ai numeri 688 = 8 • 86, 1206 = 6 • 201, 1827 = 21 • 87, 3159 = 9 • 351 e 3784 = 8 • 473, aggiungendo gli stessi zeri in coda ai fattori dei prodotti; si ottiene in questo modo una sequenza infinita di numeri di Friedman, ciascuno inferiore al doppio del precedente.

 

Tutte le potenze di 5 sono numeri di Friedman: per esponenti n almeno uguali a 165 la rappresentazione si basa sull’utilizzare le coppie di cifre uguali, che sono almeno Minimo numero di coppie di cifre uguali in una potenza di 5, per “costruire” m unità come rapporto di due cifre uguali; bisogna poi rappresentare 5n in base 2 e utilizzare al massimo m – 2 unità per rappresentare le potenze di 2; per esempio, 52 = 25 = 110012 = (1 + 1) • (1 + 1) • (1 + 1) • (1 + 1) + (1 + 1) • (1 + 1) • (1 + 1) + 1. Infine una coppia di unità permette di sbarazzarsi delle cifre restanti come (1 – 1) • x, dove x è formato da tutte le cifre non utilizzate per costruire le unità.

La stessa dimostrazione vale per qualsiasi base che non sia una potenza di 10, salvo escludere le potenze con esponente fino a un certo valore; nel caso della base 2, sembra che tutte le potenze maggiori di 29 = 512 siano numeri di Friedman.

 

Il minimo numero di Friedman pandigitale, escludendo lo zero, è 123456789 = ((86 + 2 * 7)^5 – 91) / 3^4, il minimo noto con lo zero è 1023495876 = 57 • 62 • 94 • 3081 (Bruno Curfs).

Il massimo numero di Friedman pandigitale, escludendo lo zero, è 987654321 = 8 * (97 + 6 / 2)^5 / 3^4, il massimo noto con lo zero è 8410593762 = 9654 • 871203 (Bruno Curfs).

 

Il concetto può essere esteso ad altre basi. In tutte le basi i numeri di Friedman sembrano poco frequenti: per esempio, in base 10 ve ne sono solo 13 inferiori a 1000 e 8968 inferiori al milione, tuttavia Michael Brand dimostrò nel 2013 che in qualsiasi base i numeri di Friedman hanno densità asintotica 1, ovvero i numeri non di Friedman si fanno via via più rari e la probabilità che un intero scelto a caso tra 1 e n sia un numero di Friedman tende a 1 al crescere di n.

 

In ogni base tutti i numeri vampiri, i numeri pseudovampiri e i numeri errori di stampa sono numeri di Friedman.

 

Ogni numero pluriunitario di 11 o più cifre è un numero di Friedman in qualsiasi base (v. numeri di Friedman ordinati).

Il minimo numero di Friedman formato da una sola cifra ripetuta è 99999999 = (9 + 9 / 9)^ (9 – 9 / 9) – 9 / 9; è stato dimostrato che in qualsiasi base i numeri formati da 24 o più cifre uguali sono numeri di Friedman.

 

Se a e b sono due cifre con a > 1 e b > 2, 1abb = bba1b è un numero di Friedman in base a(b – 1) (Trevor Green). Per esempio, per a = 5 e b = 4 15415 = 415 • 5115 è un numero di Friedman in base 15.

 

Se a e b sono cifre con a > 1, b > 1, c = a • b e d = a2 • b, allora acdb = cbdab è un numero di Friedman in base b(d – 1) (Trevor Green). Per esempio, per a = 2 e b = 3 abbiamo c = 6 e d = 12 e 26C33 = 633 • C233 è un numero di Friedman in base 33.

 

Utilizzando i numeri romani, qualsiasi intero è un numero di Friedman: si tratta solo di inserire i simboli di addizione e sottrazione nei punti opportuni; per esempio, LIX = L – I + X. Sono però stati trovati numeri di Friedman in notazione romana rappresentati con altre combinazioni di cifre; il minimo esempio è 8: VIII = II · (V – I).

Tabelle numeriche

I numeri di Friedman noti.

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