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Sequenze irrazionali

Algebra  Sequenze  Vari 

Una sequenza infinita di interi positivi an è detta “sequenza irrazionale” se per ogni sequenza bn di interi maggiori di zero la serie Somma per n da zero a infinito di 1 / (a(n) * b(n)) converge a un numero irrazionale; per esempio, an = 22n è una sequenza irrazionale, perché Somma per n da zero a infinito di 1 / (2^2^n * b(n)) converge a un numero irrazionale per ogni sequenza bn di interi positivi.

La definizione si deve a Paul Erdös e Ernst G Straus, nel 1975.

 

Una sequenza è una sequenza irrazionale se Limite superiore di log(log(a(n))) / n maggiore di log(2), quindi ogni sequenza che cresca più velocemente delle potenze aventi per esponente una potenza di 2 è una sequenza irrazionale.

La crescita doppiamente esponenziale da sola non basta a far sì che una sequenza sia una sequenza irrazionale; per esempio, la sequenza dei numeri di Sylverster sn non è una sequenza irrazionale, perché nel caso bn = 1 abbiamo Somma dei reciproci dei numeri di Sylvester uguale a 1.

 

Per una sequenza irrazionale vale Limite per n tendente a infinito di a(n)^(1 / n) uguale a infinito (Paul Erdös e Graham), vale a dire che deve crescere più velocemente di una sequenza esponenziale. La condizione è però necessaria, ma non sufficiente; per esempio, i fattoriali non costituiscono una sequenza irrazionale anche se Limite per n tendente a infinito di n!^(1 / n) uguale a infinito perché nel caso bn = n + 2 abbiamo Somma per n da zero a infinito di 1 / (n! * (n + 2)) uguale a 1.

 

Non è noto se esista una sequenza irrazionale nella quale nessun termine abbia divisori in comune con i restanti e per la quale Limite per n tendente a infinito di a(n)^(1 / 2^n) sia finito.

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