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Bell ordinati (numeri di)

Matematica combinatoria  Sequenze 

I numeri di Bell ordinati, detti anche “numeri di Fubini”, rappresentano il numero di modi nei quali un insieme può essere diviso in sottoinsiemi, considerando tutti i possibili ordini dei sottoinsiemi (considerando quindi distinti gli ordinamenti tra i sottoinsiemi, non entro gli stessi).

Per esempio, il terzo numero di Bell ordinato è 13, perché 3 oggetti possono essere suddivisi in sottoinsiemi tra loro ordinati in 13 modi diversi:

  • { 1 }, { 2 }, { 3 };

  • { 1 }, { 3 }, { 2 };

  • { 2 }, { 1 }, { 3 };

  • { 2 }, { 3 }, { 1 };

  • { 3 }, { 1 }, { 2 };

  • { 3 }, { 2 }, { 1 };

  • { 1, 2 }, { 3 };

  • { 3 }, { 1, 2 };

  • { 1, 3 }, { 2 };

  • { 2 }, { 1, 3 };

  • { 2, 3 }, { 1 };

  • { 1 }, { 2, 3 };

  • { 1, 2, 3 }.

 

Il numero Bell ordinato b*n è anche il numero di modi distinti nei quali si può iniziare con l’insieme vuoto per arrivare, aggiungendo uno o più oggetti alla volta, all’insieme completo di n oggetti. Per esempio, nel caso n = 3 si possono seguire 13 strade diverse:

  • { }, { A }, { A, B }, { A, B, C };

  • { }, { A }, { A, C }, { A, B, C };

  • { }, { B }, { A, B }, { A, B, C };

  • { }, { B }, { B, C }, { A, B, C };

  • { }, { C }, { A, C }, { A, B, C };

  • { }, { C }, { B, C }, { A, B, C };

  • { }, { A }, { A, B, C };

  • { }, { B }, { A, B, C };

  • { }, { C }, { A, B, C };

  • { }, { A, B }, { A, B, C };

  • { }, { A, C }, { A, B, C };

  • { }, { B, C }, { A, B, C };

  • { }, { A, B, C }.

 

L’n-esimo numero di Bell ordinato b*n è il numero di possibili classifiche distinte in un torneo con n partecipanti, se sono possibili ex-aequo (se la classifica non ammette ex-aequo, il numero di possibili classifiche è n!).

Per esempio, 3 concorrenti, A, B e C possono arrivare in 13 ordini diversi (il raggruppamento tra parentesi indica il pareggio):

  • A, B, C;

  • A, C, B;

  • A, (B, C);

  • B, A, C;

  • B, C, A;

  • B, (A, C);

  • C, A, B;

  • C, B, A;

  • C, (A, B);

  • (A, B), C;

  • (A, C), B;

  • (B, C), A;

  • (A, B; C).

 

L’n-esimo numero di Bell ordinato b*n è il numero di sequenze di interi, ciascuno multiplo del precedente, che iniziano con 1 e terminano con un numero che sia il prodotto di n fattori primi distinti.

Per esempio, 70 ha 3 fattori primi e vi sono 13 sequenze del genere:

  • { 1, 70 },

  • { 1, 2, 70 },

  • { 1, 5, 70 },

  • { 1, 7, 70 },

  • { 1, 10, 70 },

  • { 1, 14, 70 },

  • { 1, 35, 70 },

  • { 1, 2, 10, 70 },

  • { 1, 2, 14, 70 },

  • { 1, 5, 10, 70 },

  • { 1, 5, 35, 70 }.

 

Alcune formule per i numeri di Bell ordinati:

Formula per i numeri di Bell ordinati, dove En(x) è l’n-esimo polinomio euleriano;

Formula per i numeri di Bell ordinati, con b*0 = 1;

Formula per i numeri di Bell ordinati;

Formula per i numeri di Bell ordinati;

Formula per i numeri di Bell ordinati;

Formula per i numeri di Bell ordinati;

Formula per i numeri di Bell ordinati;

Formula per i numeri di Bell ordinati, per n > 1;

Formula per i numeri di Bell ordinati;

Formula per i numeri di Bell ordinati.

 

b*n è la derivata n-esima di Funzione le cui derivate danno i numeri di Bell ordinati, calcolata per x = 0.

 

Un’altra formula interessante che coinvolge derivate, sempre assolutamente impraticabile per il calcolo, e: Formula per i numeri di Bell ordinati, dove le operazioni di derivazione e moltiplicazione per x vanno ripetute n volte; il risultato va poi calcolato per x = 1 (Karol A. Penson, 2001).

 

Per quanto riguarda la velocità di crescita dei numeri della sequenza, b*n tende a Limite asintotico cui tendono i numeri di Bell ordinati e valgono le relazioni Diseguaglianze per i numeri di Bell ordinati.

 

Tutti i numeri di Bell ordinati sono dispari.

Se p è primo, Congruenza dei numeri di Bell ordinati per nm.

 

Per quanto riguarda le cifre finali di b*n:

  • l’ultima cifra si ripete con periodo 4;

  • le ultime due cifre si ripetono con periodo 20;

  • le ultime tre cifre si ripetono con periodo 100;

  • le ultime quattro cifre si ripetono con periodo 500.

 

La funzione generatrice dei numeri di Bell ordinati è Funzione generatrice dei numeri di Bell ordinati.

La funzione generatrice esponenziale dei numeri di Bell ordinati è Funzione generatrice esponenziale dei numeri di Bell ordinati.

 

La tabella seguente mostra i valori di b*n per n fino a 20.

n

b*n

0

1

1

1

2

3

3

13

4

75

5

541

6

4683

7

47293

8

545835

9

7087261

10

102247563

11

1622632573

12

28091567595

13

526858348381

14

10641342970443

15

230283190977853

16

5315654681981355

17

130370767029135901

18

3385534663256845323

19

92801587319328411133

20

2677687796244384203115

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

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