Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Euleriani generalizzati (numeri)

Matematica combinatoria 

I numeri euleriani generalizzati, indicati come Numero euleriano generalizzato E(n, k, r), sono numeri interi, definiti da D.H. Lehmer nel 1981 tramite la ricorrenza Numero euleriano generalizzato E(1, k, r) = k per krNumero euleriano generalizzato E(1, k, r) = 0 per k > r, Numero euleriano generalizzato E(n, 1, r) = 1, Formula per il numero euleriano generalizzato E(n + 1, k, r).

 

Alcuni valori particolari:

Numero euleriano generalizzato E(2, k, r) uguale al coefficiente binomiale C(k + 2, 3), per kr;

Numero euleriano generalizzato E(n, 2, r) = 2^(n – 1) + n, per r > 1;

Numero euleriano generalizzato E(n, r * n / 2, r) = 0, se n è dispari e r pari.

 

Alcune formule che coinvolgono numeri euleriani generalizzati:

Formula che coinvolge i numeri euleriani generalizzati;

Formula che coinvolge i numeri euleriani generalizzati;

Formula che coinvolge i numeri euleriani generalizzati per n > 1 e quindi Formula che coinvolge i numeri euleriani generalizzati, se n è dispari e maggiore di 1;

Formula che coinvolge i numeri euleriani generalizzati, se r è pari e quindi Formula che coinvolge i numeri euleriani generalizzati, se n è dispari e maggiore di 1 e r è dispari;

Formula che coinvolge i numeri euleriani generalizzati, se r è dispari.

 

Le tabelle seguenti mostrano i numeri euleriani generalizzati per n e k fino a 10 e r fino a 5.

 

La tabella seguente mostra i numeri euleriani generalizzati per r = 1 e k da 1 a 10.

n \ k

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

–1

 

 

 

 

 

 

 

4

1

–4

1

 

 

 

 

 

 

5

1

–11

11

–1

 

 

 

 

 

6

1

–26

66

–26

1

 

 

 

 

7

1

–57

302

–302

57

–1

 

 

 

8

1

–120

1191

–2416

1191

–120

1

 

 

9

1

–247

4293

–15619

15619

–4293

247

–1

 

10

1

–502

14608

–88234

156190

–88234

14608

–502

1

 

La tabella seguente mostra i numeri euleriani generalizzati per r = 2 e k da 2 a 10; per k = 1 sono uguali ai numeri euleriani generalizzati per r = 1.

n \ k

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

1

 

 

 

 

 

 

 

3

7

0

–7

–1

 

 

 

 

 

4

12

–12

–56

–12

12

1

 

 

 

5

21

–67

–284

0

284

67

–21

–1

 

6

38

–273

–1170

753

3408

753

–1170

–273

38

7

71

–982

–4241

8562

29055

0

–29055

–8562

4241

8

136

–3314

–13888

66335

199616

–106113

–464880

–106113

199616

9

265

–10773

–40886

430309

1165347

–1871708

–5609087

0

5609087

10

522

–34191

–103146

2517570

5843250

–22192014

–55113444

26197875

112181740

 

La tabella seguente mostra i numeri euleriani generalizzati per r = 3 e k da 3 a 10; per k < 3 sono uguali ai numeri euleriani generalizzati per r = 2.

n \ k

3

4

5

6

7

8

9

10

1

3

 

 

 

 

 

 

 

2

10

4

1

 

 

 

 

 

3

27

13

–13

–27

–7

–1

 

 

4

69

16

–182

–376

–182

16

69

12

5

176

–88

–1375

–3123

–1608

1608

3123

1375

6

456

–886

–8292

–20322

–6536

35890

65862

35890

7

1205

–5309

–44400

–113392

24696

510312

941082

484822

8

3247

–26928

–220677

–560152

776117

5700032

10508058

3322768

9

8910

–125874

–1040876

–2443932

9519130

54618522

97670205

–15058507

10

24858

–561222

–4715285

–8951692

90392196

470136372

771025465

–887152890

 

La tabella seguente mostra i numeri euleriani generalizzati per r = 4 e k da 4 a 10; per k < 4 sono uguali ai numeri euleriani generalizzati per r = 3.

n \ k

4

5

6

7

8

9

10

1

4

 

 

 

 

 

 

2

20

10

4

1

 

 

 

3

77

57

0

–57

–77

–27

–7

4

272

221

–272

–1084

–1688

–1084

–272

5

936

625

–3288

–11868

–21023

–16223

0

6

3210

665

–27834

–102777

–199994

–153255

118130

7

11075

–7830

–201025

–778610

–1608570

–944025

3153070

8

38608

–87006

–1324776

–5397175

–11400880

–1459060

54617160

9

136270

–634696

–8223201

–35039930

–71990015

61638165

762115731

10

487354

–3995140

–48931052

–215787099

–397559176

1204535527

9288552090

 

La tabella seguente mostra i numeri euleriani generalizzati per r = 5 e k da 5 a 10; per k < 5 sono uguali ai numeri euleriani generalizzati per r = 4.

n \ k

5

6

7

8

9

10

1

5

 

 

 

 

 

2

35

20

10

4

1

 

3

182

162

63

–63

–162

–182

4

846

936

26

–1920

–4317

–5836

5

3750

4566

–3773

–27513

–65833

–102125

6

16290

19266

–54366

–302262

–780717

–1338296

7

70295

65921

–550172

–2876340

–7983309

–14672075

8

303619

120616

–4770523

–24967168

–73823842

–141286032

9

1318429

–722763

–37846193

–203142905

–633238560

–1219610608

10

5770485

–11740968

–283334274

–1574517996

–5110976358

–9438807440

 

Dato che i valori di Numero euleriano generalizzato E(n, k, r + 1) sono uguali a Numero euleriano generalizzato E(n, k, r) per kr, ossia Numero euleriano generalizzato E(n, k, r + m) = E(n, k, r), viene spontaneo definire Formula per la definizione del numero euleriano generalizzato E(n, k, ∞).

Mentre i numeri euleriani generalizzati possono essere negativi o nulli, Numero euleriano generalizzato E(n, k, ∞) è sempre maggiore di zero.

Per i numeri Numero euleriano generalizzato E(n, k, ∞) valgono le seguenti formule:

Formula per il calcolo dei numeri euleriani generalizzati E(n, k, ∞);

Formula per il calcolo dei numeri euleriani generalizzati E(n, k, ∞);

Formula per il calcolo dei numeri euleriani generalizzati E(n, k, ∞);

Formula che coinvolge i numeri euleriani generalizzati E(n, k, ∞);

Formula che coinvolge i numeri euleriani generalizzati E(n, k, ∞) e in particolare Formula che coinvolge i numeri euleriani generalizzati E(n, k, ∞) e Formula che coinvolge i numeri euleriani generalizzati E(n, k, ∞).

 

Le funzioni generatrici sono:

  • Funzione generatrice dei numeri euleriani generalizzati E(n, k, ∞), e in particolare Funzione generatrice dei numeri euleriani generalizzati E(n, k, ∞);

  • Funzione generatrice dei numeri euleriani generalizzati E(n, k, ∞);

  • Funzione generatrice dei numeri euleriani generalizzati E(n, k, ∞).

 

Le tabelle seguenti mostrano i numeri euleriani generalizzati Numero euleriano generalizzato E(n, k, ∞) per n e k da 1 a 20.

n \ k

1

2

3

4

5

1

1

2

3

4

5

2

1

4

10

20

35

3

1

7

27

77

182

4

1

12

69

272

846

5

1

21

176

936

3750

6

1

38

456

3210

16290

7

1

71

1205

11075

70295

8

1

136

3247

38608

303619

9

1

265

8910

136270

1318429

10

1

522

24858

487354

5770485

11

1

1035

70379

1765985

25491060

12

1

2060

201801

6480176

113724076

13

1

4109

584780

24059140

512471064

14

1

8206

1709116

90290106

2332221036

15

1

16399

5028849

342146751

10715147925

16

1

32784

14873331

1307781600

49675641225

17

1

65553

44160986

5036789530

232251992199

18

1

131090

131499630

19526806570

1094409494375

19

1

262163

392401415

76130274717

5194325875354

20

1

524308

1172747437

298233238304

24815926787450

n \ k

6

7

8

9

1

6

7

8

9

2

56

84

120

165

3

378

714

1254

2079

4

2232

5214

11088

21879

5

12342

35112

89232

207207

6

65922

225576

677742

1834755

7

345857

1409387

4962365

15539750

8

1800232

8666413

35500096

127756054

9

9354933

52853080

250355800

1029661470

10

48725208

321327496

1751126904

8191830942

11

255010108

1954218300

12199874292

64651724490

12

1343171664

11916975516

84913844304

507978621954

13

7126603680

72982474956

591726565860

3984001368270

14

38109294894

449358223524

4134770179914

31249936567674

15

205431718779

2783469956421

29003146939371

245507309073279

16

1116330855024

17353209669411

204378924957504

1933898042299575

17

6114263859287

108909464601724

1447612242607740

15286303202329835

18

33745331509524

688134436973140

10309594332857300

121317476984516475

19

187613092162510

4377084961033070

73839950568433530

967110656382192465

20

1050348352303160

28025148200987610

531915343610280480

7746122781111600225

n \ k

10

11

12

1

10

11

12

2

220

286

364

3

3289

5005

7371

4

40612

71643

121056

5

446875

906048

1743248

6

4559620

10547888

22958364

7

44192010

115917118

283828498

8

413296112

1222660298

3351458336

9

3770075342

12520422476

38257723980

10

33799381940

125500148676

425885153652

11

299452606190

1238767484526

4653201084490

12

2632534971704

12095028921250

50143051225104

13

23034074826686

117213697041364

534924268768540

14

201057821120354

1130432652114260

5665769979337910

15

1753841141354225

10871546440003535

59717675187851265

16

15309653155425200

104426390574734085

627495022808166240

17

133874074658814555

1003101160396319010

6582755974313998050

18

1173622222963745490

9645439717514490630

69023496412736280090

19

10321031713251461475

92913367419795253695

724069908271254178725

20

91091548972426145700

897174097097196099045

7604694521883158586240

n \ k

13

14

15

1

13

14

15

2

455

560

680

3

10556

14756

20196

4

197132

310896

476748

5

3206268

5670588

9690000

6

47415108

93547260

177288240

7

654885730

1434717550

3002927770

8

8601029402

20838931568

47991681734

9

108779240990

290424182510

733487855544

10

1336988087918

3920886275544

10827346098600

11

16079006447044

51646493645100

155522901709100

12

190194532397260

667400769871760

2186288191855260

13

2221730532257600

8497284264019800

30214740856945140

14

25710497506696860

106952210891635410

411988362002216460

15

295490252059972515

1334410348734174285

5558493970475831475

16

3379559701749256935

16539642205289557200

74379234152676275325

17

38526826272343362525

204018656093698076685

989009732046510204720

18

438350371393315838925

2508133643515367595600

13088484557430432045840

19

4983076384853730607080

30767092357458562367160

172618100099028111755640

20

56646040793358739425000

376968235753934813977440

2271247884403800006748200

n \ k

16

17

18

1

16

17

18

2

816

969

1140

3

27132

35853

46683

4

713184

1043613

1497276

5

16062144

25912029

40797009

6

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Vedi anche

Numeri euleriani (I).

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