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Ruth – Aaron estesi (numeri di)

Teoria dei numeri  Vari 

Abhiram R. Devesi propose una modifica della definizione dei numeri di Ruth – Aaron: due numeri sono numeri di Ruth – Aaron estesi se sono consecutivi e le somme dei fattori primi sono interi consecutivi. Per esempio, 20 = 2 • 2 • 5 e 21 = 3 • 7 sono numeri di Ruth – Aaron estesi, perché 2 + 2 + 5 = 9 e = 3 + 7 = 10.

 

Come per i numeri di Ruth – Aaron, vi sono due varianti possibili della definizione, considerando tutti i fattori primi, come nella definizione di Devesi, oppure solo quelli distinti.

 

Se si considerano solo i fattori primi distinti, i minimi numeri delle coppie inferiori a 106 sono: 2, 8, 120, 168, 175, 247, 860, 1044, 1444, 1659, 1849, 3626, 3834, 4233, 4300, 4345, 4814, 6867, 8240, 14905, 23287, 24476, 28919, 29087, 29464, 30457, 30650, 33725, 34945, 35585, 37214, 49468, 52206, 54900, 58113, 62049, 63440, 65631, 68264, 70091, 76600, 78912, 79724, 81175, 82268, 82946, 85467, 85625, 90423, 94625, 98841, 100656, 104328, 111047, 113283, 122904, 124399, 124844, 128649, 137006, 143819, 164374, 175354, 177122, 179607, 186295, 197110, 198911, 207684, 211265, 225335, 228512, 233624, 236282, 238017, 247455, 259140, 263145, 294749, 294785, 298082, 310155, 334850, 335793, 344590, 348551, 361570, 364870, 366739, 367236, 371825, 374160, 392034, 392368, 394009, 397305, 407855, 422065, 422904, 429385, 429802, 437715, 453776, 482396, 495362, 500379, 511927, 519672, 521100, 529424, 531006, 531240, 552244, 557282, 569984, 579501, 585111, 585310, 589809, 607287, 623125, 642221, 664984, 683474, 685008, 687168, 717831, 723634, 747676, 759913, 765346, 768688, 790744, 792132, 804310, 806284, 808827, 825796, 832316, 848452, 859568, 888994, 907384, 924372, 925242, 932052, 942632, 968130.

Qui trovate l’elenco delle coppie di numeri di Ruth – Aaron, considerando i fattori primi distinti, minori di 109.

 

Se si considerano tutti i fattori primi, i minimi numeri delle coppie inferiori a 106 sono: 2, 3, 4, 9, 20, 24, 98, 170, 1104, 1274, 2079, 2255, 3438, 4233, 4345, 4716, 5368, 7105, 7625, 10620, 13350, 13775, 14905, 20220, 21385, 23408, 25592, 26123, 28518, 30457, 34945, 35167, 38180, 45548, 49230, 51911, 52206, 53456, 56563, 61456, 65429, 66585, 67123, 68479, 69874, 71284, 75648, 76640, 77314, 78524, 82946, 86135, 90243, 96255, 98841, 121539, 134199, 154192, 162810, 172255, 175354, 175863, 177122, 182939, 194403, 197110, 200384, 203634, 211551, 218495, 220124, 229581, 233090, 236282, 238017, 239267, 243494, 247475, 258995, 263145, 265225, 283590, 287615, 295274, 295640, 298082, 300294, 322234, 326451, 327568, 329759, 331583, 335793, 336106, 367288, 386169, 392034, 422065, 429385, 429802, 430604, 458488, 475968, 490467, 495362, 527615, 531006, 544119, 551056, 552293, 558531, 585310, 585599, 595560, 596884, 616225, 616230, 680350, 692750, 702800, 703684, 709929, 723634, 731934, 757053, 757375, 759913, 765346, 775935, 793809, 801619, 801648, 804310, 829512, 831416, 847692, 852840, 865692, 877528, 888994, 895762, 921172, 958112, 958867, 976096, 977795, 977895, 978751, 991248

Qui trovate l’elenco delle coppie di numeri di Ruth – Aaron, considerando tutti i fattori primi, minori di 109.

 

Considerando tutti i fattori primi, le uniche triple di numeri di Ruth – Aaron estesi minori di 1013 sono:

(2, 3, 4),

(3, 4, 5),

(27574665988, 27574665989, 27574665990) (Giovanni Resta, 2013),

(1862179264458, 1862179264459, 1862179264460) (Giovanni Resta, 2013),

(9600314395008, 9600314395009, 9600314395010) (Giovanni Resta, 2013).

L’unica quadrupla minore di 1013 è (2, 3, 4, 5).

 

Considerando tutti i fattori primi, è stato anche esaminato il caso di numeri di Ruth – Aaron estesi per i quali le somme dei fattori primi sono a loro volta numeri di Ruth – Aaron estesi, definendo “profondità” di una coppia il numero di volte per le quali è possibile ripetere il procedimento. Per esempio, (24, 25) è una coppia di profondità 2, perché le somme dei fattori primi sono (9, 10), altra coppia di numeri di Ruth – Aaron estesi, con somma dei fattori primi (6, 7), che non è una coppia di numeri di Ruth – Aaron estesi.

L’unica coppia con profondità 3 minore di 1013 è (170, 171) (Giovanni Resta, 2013).

Le uniche coppie con profondità 4 minori di 1013 sono (121539, 121540), (295274,295275) e (11093225, 11093226) (Giovanni Resta, 2013).

Le uniche coppie con profondità 5 minori di 1013 iniziano con 2957791666084, 3011043276149, 4016669254756, 6306125953827, 6538721538474, 7501658878220, 7938367737268, 8531992167314 e 9670214064608; da tutte queste si ottiene la sequenza (121539, 121540), (170, 171), (24, 25) e (9, 10) (Giovanni Resta, 2013).

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