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“ans” (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri ans”  i numeri naturali esprimibili come p2q2, con p e q primi. Per esempio, 40 = 72 – 32 è un numero ans.

 

Norman E. Elliot e Dan Richner dimostrarono che:

  • i numeri ans dispari sono tutti e soli i numeri della forma p2 – 4, con p primo dispari;

  • per q = 3 i numeri ans sono multipli di 8 e non di 3;

  • per q > 3 i numeri ans sono multipli di 24;

  • l’unico numero asn primo è 5 = 32 – 22;

  • l’unico numero asn che sia una potenza di un primo è 24 = 16 = 52 – 32.

  • l’unico numero asn che sia semiprimo è 3 • 7 = 21 = 16 = 52 – 22;

  • il minimo numero ans che sia il quadrato di un numero composto è 122 = 144 = 132 – 52:

  • la densità asintotica dei numeri ans non supera 1 / 24.

 

I numeri ans minori di 1000 sono:

16 = 52 – 32,

24 = 72 – 52,

40 = 72 – 32,

48 = 132 – 112,

72 = 112 – 72 = 192 – 172,

96 = 112 – 52,

112 = 112 – 32,

120 = 132 – 72 = 172 – 132 = 312 – 292,

144 = 132 – 52,

160 = 132 – 32,

168 = 172 – 112 = 232 – 192 = 432 – 412,

192 = 192 – 132,

240 = 172 – 72 = 192 – 112 = 232 – 172 = 612 – 592,

264 = 172 – 52,

280 = 172 – 32,

288 = 732 – 712,

312 = 192 – 72 = 292 – 232 = 412 – 372,

336 = 192 – 52,

352 = 192 – 32,

360 = 232 – 132 = 472 – 432,

408 = 1032 – 1012 = 232 – 112 = 372 – 312,

432 = 1092 – 1072 = 312 – 232,

480 = 232 – 72 = 292 – 192 = 432 – 372,

504 = 232 – 52,

520 = 232 – 32,

528 = 372 – 292 = 472 – 412,

552 = 1392 – 1372 = 292 – 172 = 712 – 672,

600 = 1512 – 1492 = 312 – 192 = 532 – 472,

648 = 832 – 792,

672 = 292 – 132 = 312 – 172 = 592 – 532,

720 = 1812 – 1792 = 292 – 112 = 412 – 312,

768 = 1932 – 1912 = 672 – 612,

792 = 1012 – 972 = 1992 – 1972 = 292 – 72 = 312 – 132,

816 = 292 – 52,

832 = 292 – 32,

840 = 1072 – 1032 = 312 – 112 = 372 – 232 = 412 – 292 = 472 – 372 = 732 – 672,

888 = 1132 – 1092 = 432 – 312,

912 = 2292 – 2272 = 312 – 72 = 612 – 532 = 792 – 732,

936 = 312 – 52,

952 = 312 – 32,

960 = 2412 – 2392 = 532 – 432.

Qui trovate i numeri ans fino a 106 (1.1 MByte).

 

Florian Luca dimostrò che il numero di numeri ans minori di n è minore di c * n / log(n), per una costante c.

 

I numeri ans che sono quadrati minori di 109 sono:

16 = 52 – 32,

144 = 132 – 52,

3600 = 612 – 112,

32400 = 1812 – 192,

176400 = 4212 – 292,

3027600 = 17412 – 592,

3459600 = 18612 – 612,

6350400 = 25212 – 712,

9734400 = 31212 – 792,

26010000 = 51012 – 1012,

73616400 = 85812 – 1312,

93315600 = 96612 – 1392,

268304400 = 163812 – 1812,

392040000 = 198012 – 1992.

 

Vi sono numeri che sono ans in più di un modo, vale a dire che sono la differenza di due quadrati di primi in più modi.

 

La tabella seguente riporta i minimi numeri naturali che sono ans in esattamente n modi, per n fino a 20.

n

Minimo numero naturale ans in n modi

1

16 = 52 – 32

2

72 = 112 – 72 = 192 – 172

3

120 = 132 – 72 = 172 – 132 = 312 – 292

4

240 = 172 – 72 = 192 – 112 = 232 – 172 = 612 – 592

5

1560 = 1972 – 1932 = 412 – 112 = 432 – 172 = 712 – 592 = 832 – 732

6

1072 – 1032 = 312 – 112 = 372 – 232 = 412 – 292 = 472 – 372 = 732 – 672

7

1848 = 1572 – 1512 = 2332 – 2292 = 4632 – 4612 = 472 – 192 = 532 – 312 = 732 – 592 = 832 – 712

8

7728 = 1072 – 612 = 1132 – 712 = 1732 – 1492 = 19332 – 19312 = 2832 – 2692 = 4872 – 4792 = 6472 – 6412 = 972 – 412

9

9240 = 1012 – 312 = 1032 – 372 = 1072 – 472 = 1272 – 832 = 1312 – 892 = 1792 – 1512 = 23112 – 23092 = 4672 – 4572 = 972 – 132

10

21840 = 10972 – 10872 = 1492 – 192 = 1512 – 312 = 1572 – 532 = 1792 – 1012 = 2232 – 1672 = 2812 – 2392 = 3792 – 3492 = 4672 – 4432 = 7872 – 7732

11

10920 = 1072 – 232 = 1092 – 312 = 1132 – 432 = 1312 – 792 = 1512 – 1092 = 1972 – 1672 = 2232 – 1972 = 27312 – 27292 = 2832 – 2632 = 3972 – 3832 = 4612 – 4492

12

55440 = 15492 – 15312 = 19872 – 19732 = 2392 – 412 = 2572 – 1032 = 27772 – 27672 = 2832 – 1572 = 3072 – 1972 = 34692 – 34612 = 3532 – 2632 = 3592 – 2712 = 4212 – 3492 = 5232 – 4672

13

236208 = 147672 – 147592 = 196872 – 196812 = 21372 – 20812 = 28332 – 27912 = 4872 – 312 = 49332 – 49092 = 5472 – 2512 = 5772 – 3112 = 590532 – 590512 = 6432 – 4212 = 7872 – 6192 = 84432 – 84292 = 8532 – 7012

14

469560 = 10332 – 7732 = 12232 – 10132 = 14512 – 12792 = 15832 – 14272 = 17472 – 16072 = 18712 – 17412 = 195712 – 195592 = 28372 – 27532 = 30492 – 29712 = 33892 – 33192 = 6912 – 892 = 7612 – 3312 = 7692 – 3492 = 8272 – 4632

15

207480 = 12772 – 11932 = 17592 – 16992 = 27492 – 27112 = 37192 – 36912 = 4572 – 372 = 4612 – 712 = 4632 – 832 = 4672 – 1032 = 518712 – 518692 = 5232 – 2572 = 5992 – 3892 = 6612 – 4792 = 7432 – 5872 = 8632 – 7332 = 9672 – 8532

16

175560 = 11932 – 11172 = 146332 – 146272 = 14932 – 14332 = 20172 – 19732 = 21112 – 20692 = 4212 – 412 = 4312 – 1012 = 438912 – 438892 = 4392 – 1312 = 4632 – 1972 = 4992 – 2712 = 5232 – 3132 = 5572 – 3672 = 62772 – 62632 = 73212 – 73092 = 8532 – 7432

17

185640 = 12292 – 11512 = 13612 – 12912 = 154732 – 154672 = 18112 – 17592 = 31092 – 30792 = 33292 – 33012 = 35832 – 35572 = 4312 – 112 = 4332 – 432 = 4432 – 1032 = 4872 – 2272 = 5092 – 2712 = 5472 – 3372 = 5572 – 3532 = 6012 – 4192 = 6312 – 4612 = 7332 – 5932

18

314160 = 10092 – 8392 = 12232 – 10872 = 14832 – 13732 = 261832 – 261772 = 28332 – 27772 = 37612 – 37192 = 39472 – 39072 = 46372 – 46032 = 5632 – 532 = 5712 – 1092 = 5772 – 1372 = 6072 – 2332 = 6412 – 3112 = 7012 – 4212 = 71512 – 71292 = 7272 – 4632 = 785412 – 785392 = 8532 – 6432

19

120120 = 10312 – 9712 = 11812 – 11292 = 14512 – 14092 = 150172 – 150132 = 20172 – 19872 = 27412 – 27192 = 3472 – 172 = 3492 – 412 = 3532 – 672 = 3832 – 1632 = 4212 – 2392 = 42972 – 42832 = 4632 – 3072 = 4672 – 3132 = 4992 – 3592 = 50112 – 49992 = 5212 – 3892 = 6012 – 4912 = 7572 – 6732

 

Qui trovate i numeri ans in 2 modi diversi minori di 107 (1.9 MByte).

Qui trovate i numeri ans in 3 modi diversi minori di 107 (1.9 MByte).

Qui trovate i numeri ans in 4 modi diversi minori di 107.

Qui trovate i numeri ans in 5 modi diversi minori di 107.

Qui trovate i numeri ans in 6 modi diversi minori di 107.

Qui trovate i numeri ans in 7 modi diversi minori di 107.

Qui trovate i numeri ans in 8 modi diversi minori di 107.

Qui trovate i numeri ans in 9 modi diversi minori di 108 (1.2 MByte).

Qui trovate i numeri ans in 10 modi diversi minori di 108.

Qui trovate i numeri ans in 11 modi diversi minori di 108.

Qui trovate i numeri ans in 12 modi diversi minori di 108.

Qui trovate i numeri ans in 13 modi diversi minori di 108.

Qui trovate i numeri ans in 14 modi diversi minori di 108.

Qui trovate i numeri ans in 15 modi diversi minori di 108.

Qui trovate i numeri ans in 16 o più modi diversi minori di 109 (1.2 MByte).

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