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Bell complementari (numeri di)

Matematica combinatoria  Sequenze 

I numeri di Bell complementari, detti anche “numeri di Uppuluri – Carpenter” o “numeri di Rényi”, sono somme di numeri di Stirling di seconda specie a segni alternati.

Mentre l’n-esimo numero di Bell è dato da Formula per il calcolo dei numeri di Bell, l’n-esimo numero di Bell complementare bn è dato da Formula per il calcolo dei numeri di Bell complementari. Il numero di Bell complementare bn è quindi la differenza tra il numero di partizioni di n oggetti distinti in un numero pari di parti e il numero di partizioni in un numero dispari di parti.

 

I numeri di Bell complementari si possono ricavare dai polinomi di Bell, perché bn = bn(–1).

 

La congettura di Wilf sostiene che l’unico uguale a zero sia b2; al momento sappiamo che ve n’è al massimo un altro.

 

Sono ricavabili anche con la formula Formula per il calcolo dei numeri di Bell complementari.

 

La funzione generatrice esponenziale è e1 – ex, ovvero Funzione generatrice esponenziale dei numeri di Bell complementari.

 

M.V. Subbarao e A. Verna dimostrarono nel 2001 che Limite superiore per la crescita dei numeri di Bell complementari.

 

Sono primi (in valore assoluto) per n = 5, 36, 723* e per nessun altro valore inferiore a 40968 (E.W. Weisstein, 2009).

 

Come per i numeri di Bell, uno ogni 3 è pari, mentre gli altri sono dispari.

bn + 12 ≡ 5bn mod 8 e quindi bn + 24bn mod 8  (Tewodros Amdeberhan, Valerio De Angelis e Victor H. Moll).

 

La tabella seguente mostra i primi valori.

n

 bn

0

1

1

–1

2

0

3

1

4

11

5

–2

6

–9

7

–9

8

50

9

267

10

413

11

–2180

12

–17731

13

–50533

14

110176

15

1966797

16

9938669

17

8638718

18

–278475061

19

–2540956509

20

–9816860358

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