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Quadratura del cerchio (problema della)

Geometria  Problemi 

Indice

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  2. 2. Soluzione con altri strumenti

Già nel 335 a.C. Dinostrato (390 a.C. – 320 a.C.) aveva dimostrato che il cerchio si può quadrare, se si suppone di utilizzare, oltre a riga e compasso, un’opportuna curva, detta appunto quadratrice, introdotta da Ippia di Elide (Elide, Grecia, 460 a.C. – dopo il 399 a.C.)nel V secolo a.C.. La curva, detta anche trisettrice, perché si può utilizzare per trisecare gli angoli, fu la terza curva definita nella storia della matematica, dopo retta e circonferenza, e la prima curva non tracciabile secondo i canoni classici, con riga e compasso. Le coniche (parabole, ellisse e iperbole) furono definite poco dopo e si possono ottenere come sezioni di un cono con un piano, quindi, in un certo senso, si possono “tracciare” nello spazio con un “compasso” capace di tracciare superfici.

Il metodo più semplice per descrivere la quadratrice è il seguente: immaginate che un segmento AB, perpendicolare a un raggio AO di un quarto di circonferenza, si muova a velocità uniforme, restando perpendicolare ad AO, mentre il raggio AO ruota di un quarto di giro, anch’esso a velocità uniforme, intorno al centro O, finendo su OC: il punto di intersezione del segmento e del raggio descrive la quadratrice di Ippia, come mostra la figura.

 

Costruzione della quadratrice di Ippia

 

La quadratrice è la curva risultante AD, che può essere descritta dall’equazione Equazione della quadratrice. Se AO = 1, OD = 2 / π, mentre l’area di AOD è 2 * log(2) / π.

 

Un’altra costruzione famosa si deve ad Archimede: disegnato un giro completo di una spirale con centro in O, fino a raggiungere il punto A, si traccia la perpendicolare a OA da O, fino all’intersezione B con la tangente alla spirale in A, come mostra la figura seguente.

 

Quadratura del cerchio tramite la spirale di Archimede

 

Archimede dimostrò che la lunghezza di OB è uguale alla lunghezza della circonferenza del cerchio di raggio OA e che quindi l’area del triangolo AOB è uguale all’area dello stesso cerchio: rettificazione e quadratura in un solo colpo.

Il modermo calcolo infinitesimale ci permette di stabilite che la lunghezza della spirale è metà della circonferenza.

Bibliografia

  • Bellos, Axel;  Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -

    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

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