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Quadratura del cerchio (problema della)

Geometria  Problemi 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Soluzione con altri strumenti

Schiere di matematici e dilettanti hanno profuso anni di sforzi nel tentativo di arrivare alla quadratura del cerchio, ossia alla costruzione sul piano, usando solo riga e compasso, di un quadrato della stessa area di un cerchio dato. Insieme con la duplicazione del cubo e con la trisezione dell’angolo, sempre usando solo riga e compasso, è uno dei tre problemi matematici più famosi della storia.

Si ritene che il matematico e astronomo greco Enopide di Chio (Chio, Grecia, circa 500 a.C. – circa 420 a.C.) sia stato il primo a definire chiaramente il problema.

 

Il problema è simile ad altri due, rettificazione della circonferenza e cubatura della sfera, impossibili per lo stesso motivo.

Mentre la quadratura del cerchio richiede di fatto di tracciare un segmento di lunghezza Radice quadrata di π, la rettificazione della circonferenza consiste nel costruire un segmento della stessa lunghezza di una circonferenza data, che equivale a costruire un segmento di lunghezza π.

I due problemi sono equivalenti, nel senso che la soluzione dell’uno porterebbe automaticamente alla soluzione dell’altro, perché tramite riga e compasso si può estrarre la radice quadrata ed elevare al quadrato (v. numeri costruibili). Nell’immaginario collettivo però ha fatto più presa il termine “quadratura del cerchio”, forse anche perché si può facilmente immaginare di svolgere una circonferenza costruita con un qualsiasi materiale flessibile, mentre trasformare un cerchio in un quadrato sembra richiedere una complessa sequenza di tagli e cuciture.

La cubatura della sfera consiste nel costruire un cubo dello stesso volume di una sfera data, che equivale a costruire un segmento di lunghezza (4 / 3 * π)^(1 / 3). La sua soluzione porterebbe automaticamente alla soluzione degli altri due, perché elevare al cubo con riga e compasso è facile, mentre non è vero il contrario, perché l’estrazione di radice cubica non è eseguibile con gli stessi strumenti (v. problema della duplicazione del cubo).

 

I geometri greci non riuscirono a trovare la sospirata costruzione, ma non erano in grado di apprezzare le motivazioni, squisitamente algebriche, per le quali la costruzione richiesta è impossibile.

Forse qualcuno sospettò già allora che l’impresa fosse impossibile, ma non cercò di dimostrarlo, perché una simile idea era inconcepibile nell’antica Grecia: la matematica di allora rifuggiva dall’idea stessa di dimostrazioni di impossibilità, che sarebbero state viste come un fallimento.

 

Il problema consiste nel trovare una costruzione di π con riga e compasso, in un numero finito di passi. L’ultima clausola è fondamentale: il sofista Antifone sosteneva che la quadratura del cerchio fosse possibile, costruendo poligoni regolari con un numero crescente di lati, sino a “riempire” un cerchio, dato che i poligoni regolari con certi numeri di lati sono facilmente quadrabili (v. numeri costruibili). Sebbene l’idea sia valida, nel senso che π può essere ottenuto come limite del perimetro di un poligono regolare inscritto in un cerchio, quando il numero di lati tende a infinito, per una costruzione esatta servirebbe un numero infinito di passi. Tutto quello che si può ottenere con un numero finito di passi è un’approssimazione arbitrariamente vicina e in effetti metodi di questo genere sono stati i primi utilizzati per calcoli precisi del valore della costante.

 

In moltissimi tentarono l’impresa, producendo fantasiose costruzioni, più o meno elaborate, ma tutte inevitabilmente errate, perché con riga e compasso, fissato un segmento come unità, si possono solo tracciare lunghezze che siano esprimibili con una combinazione finita delle 4 operazioni e dell’estrazione di radice quadrata (v. numeri costruibili). Questa affermazione discende però dalla geometria algebrica ed era fuori dalla portata della matematica antica.

 

Di fatto quadrare il cerchio è divenuto un problema impossibile per antonomasia e colui che tenta l’impresa un illuso, se non addirittura uno sciocco.

Non si tratta di un’idea recente: già nel 414 a.C. Aristofane, nella sua commedia Gli uccelli, parlava in termini ironici della quadratura del cerchio, ma non scoraggiò i suoi contemporanei, né schiere di successori, dal tentare.

 

Anche Dante riconobbe l’inutilità di questi tentativi:

Qual è ’l geomètra che tutto s’affige

per misurar lo cerchio, e non ritrova,

pensando, quel principio ond’elli indige,

(Paradiso, canto XXXIII)

 

La quadratura del cerchio compare nella letteratura in alcune altre opere, sempre come problema impossibile o metafora di sforzi inutili:

  • Alexander Pope lo nomina nel 1742 nell’opera satirica Duciad;

  • nell’Ulisse di James Joyce (pubblicato tra il 1918 e il 1920) Leopold Bloom sogna di arricchirsi quadrando il cerchio, ignaro della dimostrazione di impossibilità di oltre una ventina d’anni prima;

  • Honoré de Balzac allude al problema in Séraphîta.

 

Si conoscono moltissime costruzioni approssimate: per esempio, la costruzione del gesuita polacco Kochansky richiede di tracciare, in aggiunta alla circonferenza iniziale, solo due circonferenze, una retta e due segmenti.

Data la circonferenza di centro O e preso il raggio OA come unità, si traccino due circonferenze uguali, una con centro in A, l’altra con centro in una delle intersezioni B tra le prime due. Le due nuove circonferenze si intersecheranno in O e in un punto C; si tracci il segmento OC e si determini la sua intersezione D con la retta r, tangente in A alla circonferenza iniziale. Si prolunghi ora DA fino al punto E, in modo che DE sia il triplo del raggio della circonferenza, e si congiunga E con F, opposto ad A sulla circonferenza: FE è un’ottima approssimazione di π. La figura mostra la costruzione risultante.

 

Costruzione di Kochansky per π

 

La dimostrazione della costruzione non richiede altro che il teorema di Pitagora: se prendiamo A come origine del sistema di coordinate, con la retta r che funge da asse x, la costruzione ci permette di determinare facilmente le coordinate dei vari punti: Coordinate di B, Coordinate di C, Coordinate di D, Coordinate di E, F = (0, 2) e quindi Approssimazione di Kochansky per π.

 

Qualsiasi approssimazione razionale di π ci fornisce altre costruzioni, alcune tanto buone da rendere l’errore non rilevabile con i migliori strumenti, ma non perfette, almeno teoricamente. Tuttavia fino al XIX secolo moltissimi tentarono l’impresa, spesso senza basi matematiche adeguate, finendo spesso per credere d’avere trovato la soluzione. Dopotutto non era chiaro quali rapporti fossero numeri costruibili con riga e compasso e il concetto di numeri trascendenti era ancora lontano; inoltre erano note da secoli quadrature per altre curve, apparentemente meno trattabili, come la parabola e rettificazioni di curve come la cicloide. Non stupisce quindi il proliferare di pubblicazioni sull’argomento, proposte di costruzioni e addirittura libri da parte di schiere di entusiasti.

 

In generale coloro che pensavano d’aver quadrato il cerchio si dividono in due categorie: quelli che pensavano d’aver trovato un valore “corretto” di π, diverso da quello noto, e quelli che semplicemente non si curavano di verificare che il valore risultante dalle loro costruzioni coincidesse, almeno per le prime cifre, con il valore noto, proponendo di fatto, senza rendersene conto, valori in aperto contrasto con le cifre note della costante.

Legioni di aspiranti alla gloria, con vari gradi di preparazione matematica, proposero numerosissime costruzioni, spesso dedicando anni alla ricerca. Non mi è possibile proporre che un microscopico campionario dei tentativi compiuti; ho scelto alcuni dei più curiosi.

 

Michael Psellus (Costantinopoli, oggi Istanbul, 1018 – 1078), al quale va la palma per la peggior approssimazione di π mai proposta, sosteneva che l’area del cerchio è la media geometrica tra le aree dei quadrati inscritto e circoscritto. Questo corrisponde a prendere per π il valore sqrt(8): neppure la prima cifra è corretta, con buona pace di Archimede.

 

Nel 1050 Franco di Liegi scrisse De quadratura circoli (Sulla quadratura del cerchio), nel quale dimostra come siano errate tre costruzioni, poi però propone la sua costruzione, basata sull’ipotesi che π = 3 + 1 / 7, valore che Archimede sapeva essere solo un’approssimazione. Il libro ha un interesse storico e dimostra che nel cuore del Medio Evo la matematica europea era a un livello inferiore a quello dell’antica Grecia, per non parlare di quella araba contemporanea.

 

Del resto anche tra persone colte il livello medio di conoscenza della matematica era fino a tempi relativamente recenti spaventosamente basso, mentre molti evidentemente ritevevano che la loro conoscenza in altri campi li autorizzasse a parlare di argomenti che ignoravano (problema comune anche al giorno d’oggi). Per esempio, nel 1596 Joseph Justus Scaliger (Agen, Francia, 5/8/1540 – Leyda, Olanda, 21/1/1609), un filologo dell’università di Leyda, un grande nel suo campo, ma ignorante in matematica, scrisse in Cyclometria elementa che il metodo di Archimede non è valido perché un poligono regolare inscritto in una circonferenza ha un perimetro più lungo della circonferenza stessa già a partire da 12 lati. Affermazione assurda, in contrasto con secoli di matematica e col buon senso, che può essere confutata con un buon modello e un pezzo di spago.

 

 

Nicola da Cusa (Bernkastel-Kues, Germania, 1401 – Todi, 11/8/1464) affermava la quadrabilità del cerchio, proponendo costruzioni dalle quali si ricava Valore (errato) di Nicola da Cusa per π (valore dimostrato esplicitamente errato da Regiomonano) e Valore (errato) di Nicola da Cusa per π (valore se non altro compatibile con le approssimazioni allora note in Occidente).

 

L’invenzione della stampa diede molto più spazio alle fantasie, che da manoscritti a circolazione limitata passarono a libri di diffusione maggiore, come Opus geometricorum quadraturae circuli et sectionum coni (Opera delle geometrie della quadratura del cerchio e delle sezioni del cono) del fiammingo Gregorio San Vincenzo (Bruges, Belgio, 8/9/1584 – Gand, Belgio, 27/1/1667).

 

Spicca fra tutti il filosofo inglese Thomas Hobbes (Malmesbury, Inghilterra, 5/4/1588 – 4/12/1679), che dedicò all’impresa buona parte dei suoi ultimi 27 anni di vita, pubblicando una dozzina di metodi differenti (il primo dei quali riproponeva la vecchia approssimazione babilonese Approssimazione babilonese per π) e credendo fermamente che fossero tutti corretti, nonostante le approssimazioni risultanti fossero diverse e semplici calcoli avrebbero potuto dimostrare che vi erano piccole differenze tra i segmenti tracciati con i vari metodi.

Hobbes si spinse ad affermare d’aver risolto tutti i classici problemi geometrici dell’antichità, pubblicando nel 1669 Quadratura circoli, cubatio sphaerae, duplicatio cubi, breviter demonstrata (Quadratura del cerchio, cubatura della sfera, duplicazione del cubo, dimostrate brevemente).

John Wallis (Ashford, Inghilterra, 23/11/1616 – Oxford, Inghilterra, 28/10/1703), il miglior matematico inglese dell’epoca, dovette divertirsi non poco a trovare e rendere pubblici gli errori nei lavori di Hobbes, del quale detestava le idee religiose e politiche. Si assisté così alla pubblicazioni di libri, libelli e articoli nei quali uno demoliva le idee dell’altro (o cercava di farlo), con gustosi titoli come Six Lessons to the Professors of Mathematics (Sei lezioni ai professori di matematica) di Hobbes (1656), cui Wallis rispose con Due Correction for Mr. Hobbes in School Discipline for not saying his Lessons right (Debita reprimenda in disciplina scolastica al Sig. Hobbes per non aver esposto correttamente le sue lezioni), che provocò una risposta dal titolo Marks of the Absurd Geometry, Rural Language, Scottish Church Politics, and Barbarism of John Wallis (Voti in geometria assurda, linguaggio rurale, politica della Chiesa scozzese e barbarie di John Wallis) e così via sino alla morte di Hobbes.

 

L’unica tesi di matematica discussa prima del 1700 in quelli che sarebbero divenuti Stati Uniti (Harvard 1693) aveva per titolo “E’ possibile la quadratura del cerchio?” e dava alla domanda una risposta affermativa! (v. π).

 

Altri credettero di ricavare denaro dall’impresa e qualcuno riuscì anche a perderlo: nel 1728 in Francia un tal Malthulon, di professione medico, pubblicò una delle tante fantasiose quadrature, aggiungendo per buona misura una macchina per il moto perpetuo, offrendo la notevole somma di 1000 corone a chi avesse trovato un errore nella sua “dimostrazione”. Poco tempo dopo il matematico Nicoli trovò l’errore, incassò il premio e lo lasciò a Lione, dove infine fu devoluto in beneficenza.

Malthulon comunque non si diede per vinto e riprovò qualche anno dopo, proponendo all’Accademia Reale delle Scienze un’altra quadratura, che naturalmente non ebbe maggior successo.

 

Nel 1753 J.L.V. de Mauléon de Causans lanciò una sottoscrizione, chiedendo 4000 quote di 1000 lire ciascuna per pubblicare la sua quadratura, offrendone 1500 a ciascun sottoscrittore come risarcimento, se fosse stata dimostrata errata.

Vista l’accoglienza non esattamente entusiastica dell’iniziativa, tappezzò i muri di Parigi, avvertendo che erano state depositate 1000 lire presso un notaio, per chiunque avesse dimostrato la falsità della sua quadratura, impresa non particolarmente difficile, visto che “dimostrava” un quadrato equivalente al cerchio in esso inscritto. Citato in giudizio da qualcuno che voleva riscuotere il premio, venne graziato dal tribunale, che dichiarò nulla la promessa (anche allora i giudici, quanto a incapacità non scherzavano).

Imperterrito, produsse altre due quadrature, dalle quali si ricavava Valore (errato) di de Mauléon de Causans per π, poi inviò suppliche al re di Francia, accusando l’Accademia Reale delle Scienze di boicottarlo.

 

Nel 1773 D. Lafrenaye “dimostrò” che l’area di un cerchio di diametro 9 / 8 è uguale a quella di un quadrato di lato 1, cosa che equivale a prendere per π il valore 256 / 81, l’approssimazione indicata quasi 4 millenni prima dallo scriba egizio Ahmes nel papiro di Rhind (v. π).

 

A riprova dell’abbondanza dei tentativi, l’Accademia delle scienze di Francia, che nel XVII secolo aveva incautamente offerto un premio per l’impresa, venendo subissata da una valanga di costruzioni spesso assurde, stabilì nel 1775 che non avrebbe più preso in esame presunte quadrature del cerchio, duplicazioni del cubo, trisezioni dell’angolo e macchine per il moto perpetuto, seguita poco dopo dalla Royal Society di Londra.

 

Altri seguirono la strada opposta: Charles Lutwidge Dogson (Daresbury, Inghilterra, 27/1/1832 – Guildford, Inghilterra, 14/1/1898), più noto come “Lewis Carrol”, autore di Alice nel paese delle meraviglie, dedicò molto tempo a demolire presunte quadrature, anche se in alcuni casi dovette ammettere l’impossibilità di convincere i suoi interlocutori, che sembravano incrollabilmente convinti delle loro assurde teorie (fino a sostenere valori grossolanamente errati di π, come 3.2).

 

Qualcuno tentò addirittura di produrre un cerchio e un quadrato di uguale peso, utilizzando i materiali più disparati, per poi misurare il diametro dell’uno e il lato dell’altro e trovare così il valore di π per via sperimentale. Per esempio, William Baddeley descrisse in “Mechanical Quadrature of the Circle” (Quadratura meccanica del cerchio) sul London Mechanic’s Magazine, agosto 1833 un suo “accurato” procedimento con lamierino d’ottone, che gli permise di “appurare” che π è Valore (errato) di William Baddeley per π; l’errore di circa 3.42% ci indica che non era neppure un valido sperimentatore.

 

Tre anni dopo il parigino M.J. LaComme, ponendosi il problema della pavimentazione di un pozzo cilindrico, giunse alla conclusione che Valore (errato) di LaComme per π, non è chiaro se per via geometrica o pesando lastre di pietra; fatto sta che pubblicò i suoi risultati e ricevette premi e onorificenze da varie società, nonostante all’epoca fossero note centinaia di cifre decimali di π.

 

Il fascino di π si dimostrò irresistibile per molti, sia matematici esperti che non, ma mentre i primi dimostrarono teoremi che ebbero spesso vasta applicazione anche in altri campi, gli altri, talvolta addirittura praticamente digiuni delle più elementari nozioni di matematica e geometria, si lanciarono in fantasiose costruzioni, finendo invariabilmente col prendersela contro “inetti professori” che non prestavano loro ascolto. In omaggio alla regola che uno sciocco ne trova sempre molti altri disposti ad ascoltarlo, pubblicarono e vendettero libri sulle loro costruzioni.

Tipico il caso di John A. Parker, che pubblicò un libro (Quadrature of the Circle, John Wiley & Sons, New York, 1874), nel quale “dimostrava” che il valore corretto è Valore (errato) di John A. Parker per π, asserendo che i suoi predecessori sbagliavano il calcolo perché misuravano π sulla circonferenza, invece che al suo interno (come se la linea avesse spessore finito), con ciò commettendo un errore a partire dalla “sesta cifra decimale”, ossia dove il suo valore differisce da quello corretto.

 

La vicenda più clamorosa è quella di Edward Johnston Goodwin Jr., che arrivò a un passo dal far approvare dallo stato dell’Indiana il valore legale 3.2 per π (v. π).

 

Lentamente si fece strada l’idea che i tre classici problemi dell'antichità fossero insolubili, ma passarono oltre due millenni tra quando furono proposti e quando venne finalmente dimostrata la loro insolubilità. Nel caso della quadratura del cerchio, la dimostrazione è una conseguenza della trascendenza di π e quindi di uno dei più importanti risultati della matematica del XIX secolo. L’insolubilità degli altri due problemi deriva invece dall’impossibilità di estrarre radici cubiche con riga e compasso e fu dimostrata molto prima.

Per nulla intimoriti dalla dimostrazione dell’impossibilità raggiunta nel frattempo, o più semplicemente non conoscendola, ancora nel XX secolo furono in parecchi a proporre fantasiose quadrature e addirittura nuovi valori per π.

 

Nel 1892 il New York Tribune pubblicò una lettera nella quale l’autore sostenava d’aver riscoperto un segreto risalente a Nicomede, che dimostrava che π = 3.2, rendendo banale la quadratura. Non è chiaro se fosse uno scherzo, ma la lettera convinse numerosi lettori.

 

Un caso notevole fu Carl Theodore Heisel, che nel 1931 in Behold! The Grand Problem, The Circle Squared Beyond Refutation, No Longer Unsolved, (Guardate! Il grande problema, il cerchio quadrato oltre ogni confutazione, non più irrisolto), S.J. Monk, Cleveland, 1931, ripropose come esatto il valore Valore (errato) di Carl Theodore Heisel per π di Ahmes. Tra altri vaneggiamenti, merita un cenno la sua “dimostrazione”: usando il “suo” valore calcola circonferenza e area di cerchi con raggio da 1 a 9, ottenendo valori “consistenti”, che “dimostrano” la validità della sua scoperta, destinata “all’immortalità, perché assolutamente inconfutabile” etc.. Probabilmente arrivò alla fine dei suoi giorni senza rendersi conto che se avesse usato un qualsiasi altro numero, come il suo numero di scarpe, avrebbe comunque ottenuto una tabella di valori “consistenti”, cioè con proporzionalità diretta tra raggio e circonferenza.

 

Augustus de Morgan (Maturai, India, 27/6/1806 – Londra, 18/3/1871) osservò che “è più facile quadrare un cerchio, che arrotondare un matematico” e spiegò ironicamente i differenti valori proposti negli anni dai vari “quadratori” col fatto che π non è costante, ma varia nel tempo, ricavando anche una formula che correla il valore alle posizioni di Sole e Luna. Scrisse che i principali motivi che spingevano molti a cercare di risolvere il problema erano tre:

  • l’illusione che esistessero ingenti premi per la soluzione;

  • l’idea che il problema fosse legato al problema della longitudine;

  • il mito che il problema fosse il più importante per la geometria.

Nessuna delle motivazioni aveva un fondamento:

  • è ben vero che l’eventuale successo avrebbe portato grandi onori al solutore, ma non esistevano enormi premi in palio; solo occasionalmente alcune società scientifiche avevano offerto premi, di importo contenuto, per la soluzione, per poi annullarli in breve tempo;

  • il problema della longitudine consisteva nel calcolare una buona approssimazione della longitudine in mare aperto ed era importantissimo per la navigazione oceanica, tanto che l’ammiragliato inglese aveva offerto dai 1714 al 1828 un premio ingente per la soluzione; però per risolverlo non servivano costruzioni geometriche, ma strumenti precisi e bastavano approssimazioni numeriche, con relativamente poche cifre di precisione;

  • il problema era irrilevante per lo sviluppo della geometria, a meno che la soluzione comportasse l’uso di metodi innovativi, applicabili in altre situazioni.

 

Il primo tentativo di dimostrazione di impossibilità risale a James Gregory nel 1667 in Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (La quadratura corretta di cerchio e iperbole). Gregory tentò di dimostrare che π è trascendente, prima ancora che il concetto di numeri trascendenti fosse accettato. L’idea era giusta, ma la dimostrazione errata, però fu un primo, importante passo nella direzione corretta e indica come nel XVII secolo gli esperti fossero ormai convinti dell’insolubilità del problema.

La dimostrazione definitiva dell’impossibilità si ebbe solo nel 1882, con la prova di Carl Louis Ferdinand von Lindemann (Hannover, Germania, 4/12/1852 – Monaco, Germania, 6/3/1939) che π è trascendente (v. π).

 

Per contro esistono alcune curve, come le lunule di Ippocrate, che, pur essendo delimitate da archi di cerchio, hanno un’area esprimibile senza utilizzare π e quindi sono facilmente quadrabili.

Bibliografia

  • Bellos, Axel;  Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -

    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

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