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Eulero – Lehmer (costanti di)

Analisi 

Le costanti di Eulero – Lehmer γ(a, q) sono una generalizzazione della costante di Eulero γ. Sono definite come Formula per la definizione delle costanti di Eulero – Lehmer, per 0 ≤ a < q e q > 1.

 

Alcune formule che coinvolgono le costanti di Eulero – Lehmer:

Formula per il calcolo delle costanti di Eulero – Lehmer;

Formula per il calcolo delle costanti di Eulero – Lehmer;

Formula per il calcolo delle costanti di Eulero – Lehmer;

Formula che coinvolge le costanti di Eulero – Lehmer;

se MCD(a, q) = d, Formula che coinvolge le costanti di Eulero – Lehmer.

 

M. Ram Murty e N. Saradha dimostrarono nel 2010 che le costanti γ(a, q) per 0 < a < q e q > 1 sono tutte trascendenti, tranne al massimo una. Dato che γ(2, 4) = γ / 4, se γ è algebrica (cosa che nessun esperto crede possibile), allora l’unica costante di Eulero – Lehmer algebrica è γ(2, 4).

Ram Murty e Saradha dimostrarono anche che:

  • se a, q1, q2, … qn è una sequenza strettamente crescente di interi positivi tutti primi tra loro, vi sono al massimo due numeri uguali tra γ e tutti i vari γ(a, qk);

  • vi sono al massimo due numeri uguali tra γ e tutti i vari γ(a, q) = q per 0 < a < q e q > 1, escludendo γ(2, 4).

 

Le tabelle seguenti mostrano i valori di γ(a, q) per 0 ≤ a < q e q fino a 20.

q \ a

0

1

2

3

4

5

1

0.5772156649

-

-

-

-

-

2

–0.0579657578

0.6351814227

-

-

-

-

3

–0.1737988746

0.6778071638

0.0732073757

-

-

-

4

–0.2022696741

0.7102897931

0.1443039162

–0.0751083703

-

-

5

–0.2064444495

0.7359203968

0.1903893264

–0.0137637397

–0.1288858691

-

6

–0.2024239674

0.7567280060

0.2233790518

0.0286250928

–0.0789208422

–0.1501716761

7

–0.1955277835

0.7740100133

0.2485154045

0.0599869440

–0.0424484877

–0.1093898155

8

–0.1877782346

0.7886313902

0.2685014990

0.0843196884

–0.0144914395

–0.0783415971

9

–0.1800009903

0.8011909666

0.2848900550

0.1038676892

0.0077266234

–0.0538231041

10

–0.1725369428

0.8121169847

0.2986454804

0.1199939129

0.0258799452

–0.0339075067

11

–0.1655163280

0.8217242863

0.3104032225

0.1335773143

0.0410403532

–0.0173650319

12

–0.1589742487

0.8302498899

0.3206017380

0.1452122403

0.0539272609

–0.0033729493

13

–0.1529025917

0.8378759079

0.3295549454

0.1553163023

0.0650424447

0.0086406213

14

–0.1472744046

0.8447447701

0.3374944938

0.1641923647

0.0747471893

0.0190860025

15

–0.1420556357

0.8509696137

0.3445956778

0.1720659797

0.0833086756

0.0282655719

16

–0.1372108161

0.8566415480

0.3509939963

0.1791089538

0.0909290507

0.0364073034

17

–0.1327057458

0.8618348412

0.3567961092

0.1854547166

0.0977642960

0.0436864965

18

–0.1285086718

0.8666106954

0.3620873066

0.1912086526

0.1039368508

0.0502402857

19

–0.1245907008

0.8710200409

0.3669367344

0.1964552331

0.1095442824

0.0561775849

20

–0.1209258304

0.8751056359

0.3714011333

0.2012630536

0.1146653812

0.0615860630

q \ a

6

7

8

9

10

11

7

–0.1579306102

-

-

-

-

-

8

–0.1241975827

–0.1594280588

-

-

-

-

9

–0.0976655735

–0.1311104262

–0.1578595752

-

-

-

10

–0.0761965879

–0.1082561539

–0.1337576526

–0.1547658143

-

-

11

–0.0584280166

–0.0893884916

–0.1138959157

–0.1339980129

–0.1509377146

-

12

–0.0434497186

–0.0735218839

–0.0972226862

–0.1165871475

–0.1328481031

–0.1467987268

13

–0.0306301563

–0.0599731110

–0.0830092969

–0.1017640813

–0.1174625474

–0.1308915697

14

–0.0195170409

–0.0482533788

–0.0707347568

–0.0889790893

–0.1042054207

–0.1171956771

15

–0.0097777104

–0.0380035757

–0.0600165553

–0.0778287325

–0.0926543857

–0.1052715064

16

–0.0011618546

–0.0289538058

–0.0505674185

–0.0680101578

–0.0824924974

–0.0947892654

17

0.0065226162

–0.0208972016

–0.0421673279

–0.0592915297

–0.0734772120

–0.0854966347

18

0.0134256679

–0.0136724619

–0.0346448650

–0.0514923184

–0.0654197288

–0.0771972516

19

0.0196661656

–0.0071518992

–0.0278644465

–0.0444698134

–0.0581708549

–0.0697359889

20

0.0253395974

–0.0012330702

–0.0217173864

–0.0381096814

–0.0516111124

–0.0629886511

q \ a

12

13

14

15

16

17

13

–0.1425812024

-

-

-

-

-

14

–0.1284758180

–0.1384135693

-

-

-

-

15

–0.1162027756

–0.1258131641

–0.1343658123

-

-

-

16

–0.1054204902

–0.1147489005

–0.1230357282

–0.1304742530

-

-

17

–0.0958676592

–0.1049511732

–0.1130068333

–0.1202265633

–0.1267555301

-

18

–0.0873409635

–0.0962102275

–0.1040633898

–0.1110912414

–0.1174379643

–0.1232147102

19

–0.0796798099

–0.0883604091

–0.0960350346

–0.1028935242

–0.1090792282

–0.1147025691

20

–0.0727556530

–0.0812691406

–0.0887854360

–0.0954935697

–0.1015361853

–0.1070230837

q \ a

18

19

19

–0.1198500975

-

20

–0.1120402662

–0.1166561329

 

Vedi anche

γ.

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