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Stewart (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

La congettura proposta da C.L. Stewart riguarda il numero di massimo di potenze di interi in un intervallo relativamente piccolo.

 

Nel 1980 J. Turk dimostrò che tra nn + sqrt(n) vi sono al massimo c * sqrt(log(n)) potenze di interi, per una costante c e n abbastanza grande. Nel 1986 J.H. Loxton dimostrò che ve ne sono al massimo e^(40 * sqrt(log(log(n)) * log(log(log(n)))). C.L. Stewart ridusse tale numero a e^(30 * sqrt(log(log(n)) * log(log(log(n)))).

 

La congettura di Pillai implica che le potenze vadano diradandosi, al crescere dell’intervallo considerato, ma la congettura di Stewart pone un limite alla rarefazione, perché asserisce che:

  • esistono infiniti valori di n, tali che nell’intervallo tra nn + sqrt(n) vi sono un quadrato, un cubo e una quinta potenza;

  • per n abbastanza grande, lo stesso intervallo non contiene quattro potenze e se ne contiene tre sono precisamente un quadrato, un cubo e una quinta potenza.

Va notato che nel suddetto intervallo non possono esserci due potenze con lo stesso esponente.

 

Le terne di potenze comprese tra nn + sqrt(n) fino a 1018 sono:

  • 121 = 112, 125 = 53, 128 = 27;

  • 2187 = 37, 2197 = 133, 2209 = 472;

  • 6434856 = 1863, 6436343 = 235, 6436369 = 25372;

  • 312079600999 = 1995, 312079650687 = 67833, 312079766881 = 5586412;

  • 328080365089 = 5727832, 328080401001 = 2015, 328080696273 = 68973;

  • 11305786504384 = 224443, 11305787424768 = 4085, 11305787558464 = 33624082;

  • 1942363549819232 = 11425, 1942363572640516 = 440722542, 1942363575333000 = 1247703;

  • 286291509633089533 = 6590773, 286291509713244025 = 5350621552, 286291510000000000 = 31005

 

Le terne sono, come si vede, molto rare; la congettura sembra supportata dai pochi dati disponibili, perché non si conosce alcuna quaterna di potenze in un intervallo del genere e tutte le terne, tranne la prima, sono effettivamente composte da un quadrato, un cubo e una quinta potenza.

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