Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Schinzel – Zassenhaus (congettura di)

Algebra  Congetture 

La congettura proposta da Andrzej Schinzel e H. Zassenhaus nel 1965 afferma che se x è un intero algebrico di grado d maggiore di 1 che non sia una radice dell’unità e α è la massima radice in valore assoluto del polinomio di minimo grado che ha x come radice, esiste una costante c maggiore di zero tale che a > 1 + c / d.

In pratica la congettura afferma che in un polinomio a coefficienti interi con coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1 almeno una delle radici deve avere un valore assoluto maggiore di 1 di una quantità ben definita.

 

Se il polinomio non è reciproco, ossia non è tale che se x è una radice, anche 1 / x lo è, α ≥ P^(1 / d) > (P – 1) / (2 * d), dove P è la costante plastica, quindi la congettura vale per i polinomi reciproci.

Il valore della costante cr in questo caso non è noto, ma l’intervallo entro il quale si colloca è stato progressivamente ristretto.

  • nel 1966 J.W.S. Cassels dimostrò che cr ≥ 0.1;

  • nel 1971 C. Smyth dimostrò che cr ≥ logp1 ≈ 0.2811995743, dove p1 ≈ 1.3247179572 è il primo numero di Pisot – Vijayaraghavan;

  • nel 1985 D.W. Boyd dimostrò che r ≤ 3 / 2 * log(p(1)), dove p1 è il primo numero di Pisot – Vijayaraghavan

 

Nel 1979 E. Dobrowolski dimostrò che nel caso di polinomi reciproci Limite inferiore per α, per ε piccolo a piacere e d maggiore di un valore che dipende da ε.

Nel 1982 D.C. Cantor e E.G. Straus dimostrarono che si può rimpazzare il termine 2 – ε con 4 – ε e nel 1983 R. Loboutin dimostrò che lo si può sostituire con 9 / 2 – ε. Nel 1993 Artūras Dubickas lo sostituì con 64 / π^2 – ε.

 

Per quanto riguarda il caso generale, P.E. Blansky e H.L. Montgomery dimostrarono nel 1971 che α > 1 + 1 / (30 * d^2 * log(6 * d)).

Nel 1979 E. Dobrowolski dimostrò che α > 1 + log(d) / (6 * d^2).

Nel 1991 E.M. Matveev dimostrò che α > 1 + exp(log(d + 1 / 2) / d^2).

Nel 2005 G. Rhin e Q. Wu dimostrarono che la congettura vale per d fino a 28 e che α > 1 + exp(3 * log(d / 3) / d^2) per d da 4 a 12 e α > 1 + exp(3 * log(d / 2) / d^2) per d > 12.

 

Queste dimostrazioni rafforzarono la convinzione che la congettura sia vera, ma non bastavano a dimostrarla, sia perché non valgono per ogni grado d, sia perché sostituiscono la costante c con un’espressione che tende a zero all’aumentare di d.

 

Finalmente nel 2017 Jean-Louis Verger-Gaugry dimostrò che la congettura vale, con c ≥ 1 / θ, dove θ è la radice dell’equazione x259 + x – 1 = 0 nell’intervallo (0 .. 1) e vale circa 0.9841299079.

Vedi anche

Numeri di Salem.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.