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Kelvin (congettura di)

Congetture  Geometria 

William Thompson (Belfast, Irlanda, 16/6/1824 – 17/12/1907 Largs, Scozia), più noto come Lord Kelvin, propose nel 1887 una possibile soluzione a quello che da allora è noto come “problema di Kelvin”, ovvero quale sia la figura che riempie lo spazio con copie uguali, che abbia la minima superficie.

 

Kelvin era fermamente convinto che la luce si propagasse sotto forma di vibrazioni dell’etere, una sostanza invisibile che permea l’universo. Riteneva che l’etere fosse suddiviso in bolle e che queste dovessero essere tutte uguali, riempire lo spazio e avere la minima superficie, perché quasi tutto in natura raggiunge un minimo o un massimo.

La condizione della minima superficie a parità di volume implica che tali bolle per essere stabili debbano soddisfare alcune condizioni, come le bolle di sapone, stabilite da J.A.F. Plateau nel 1873:

  • le superfici di separazione hanno curvatura nulla;

  • lungo ogni linea di separazione si uniscono tre superfici, che formano tra loro angoli di 120°;

  • nei vertici si uniscono quattro linee di separazione, che escono dal punto comune nelle direzioni dei vertici di un tetraedro regolare.

Le ultime due proprietà furono dimostrare rigorosamente da Lamarle.

Bisogna precisare che “curvatura nulla” non significa che le superfici siano piane. Il problema nasce dalla particolare definizione geometrica di curvatura: una superficie a forma di sella, per esempio, può avere curvatura nulla, pur non essendo affatto piana.

 

Chiedendosi quale dovesse essere la forma di tali bolle, Kelvin propose un poliedro, che amava chiamare “tetrakaidekahedron” (poliedro con 14 facce), oggi noto anche come “cella di Kelvin”, con 8 facce a forma di esagono regolare e 6 quadrate.

Come ulteriore raffinamento propose superfici di separazione a curvatura nulla, ma non piane, riuscendo a ridurre ulteriormente la superficie.

La figura seguente mostra la cella di Kelvin con facce piane (a sinistra) e la versione migliorata (a destra).

 

Cella di Kelvin

 

 

La congettura di Kelvin era che il secondo solido fosse la soluzione del problema.

 

La misura della bontà del rapporto tra volume e superficie è data dal quoziente isoperimetrico, definito come il rapporto tra la sesta potenza del raggio della sfera con lo stesso volume e la sesta potenza del raggio della sfera con la stessa superficie.

L’elevamento alla sesta potenza è necessario perché il volume aumenta col cubo delle dimensioni lineari, la superficie col quadrato e prendendo come esponente il minimo comune multiplo di 3 e 2 si ottiene un numero adimensionale, indipendente dalle unità di misura.

Il cubo del raggio di una sfera di volume V è 3 * V / (4 * π) e il quadrato del raggio di una sfera di superficie S è s / (4 * π), quindi il quoziente isoperimetrico di un solido di volume V e superficie S è Quoziente isoperimetrico di un solido di volume V e superficie S.

Come esempi, il quoziente isoperimetrico di una sfera è 1, il migliore possibile, mentre il cubo, che ha evidentemente una superficie molto maggiore a parità di volume, ha quoziente ispoterimetrico π / 6. La cella di Kelvin con facce piane ha quoziente isoperimetrico uguale a 64 * π / (3 * (1 + 2 e la versione con le facce leggermente curve arriva a circa 0.757.

 

Nel 1994 Denis Weaire e Robert Phelan esaminando la schiuma della birra, senza limitarsi a berla come molti loro colleghi, si convinsero dell’esistenza di due solidi capaci di riempire lo spazio combinandosi, con una superficie minore di quella della cella di Kelvin a parità di volume; Phelan riuscì anche a dimostrarne l’esistenza, senza però poterne trovare l’esatta forma.

In loro aiuto accorse Ken Brakke, che aveva sviluppato un programma per trovare le superfici di liquidi soggetti a varie forze e vincoli. Il programma confermò l’intuizione di Weaire e Phelan, dimostrando che esistono due solidi che riempiono lo spazio e hanno superficie minore, a parità di volume, della cella di Kelvin. Un solido (a destra nella figura seguente) ha 12 facce a forma di pentagono non regolare, l’altro (a sinistra nella figura seguente) ha 12 facce pentagonali e due esagonali; 2 copie del primo e 6 del secondo formano una configurazione che riempie lo spazio in maniera periodica.

 

I solidi di Weaire e Phelan

 

Il quoziente isoperimetrico dei poliedri è circa 0.765.

 

Altri ricercatori in seguito trovarono altre figure con quoziente isoperimetrico maggiore di quello della cella di Kelvin, ma non di quello dei solidi di Weaire e Phelan.

Non è stato dimostrato che questa sia la soluzione migliore con due figure diverse, né che non esistano insiemi di più di due figure che permettano una riduzione della superficie, né che non esista una figura che tassella da sola lo spazio con superficie minore della cella di Kelvin.

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