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sinh(x)

Analisi  Funzioni 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule per il calcolo della funzione
  3. 3. Serie
  4. 4. Prodotti
  5. 5. Integrali indefiniti
  6. 6. Integrali definiti
  7. 7. Altre formule

La funzione sinh(x) è la funzione seno iperbolico.

 

Il nome si spiega con la sua definizione geometrica; il seno di α si può definire come la coordinata y dell’intersezione tra una circonferenza di equazione x2 + y2 = 1 e una delle due rette passanti per l’origine che delimitano mezzo settore circolare di area α / 2, l’altra essendo retta delle ascisse, (v. funzione sin). Se si rimpiazza la circonferenza con l’iperbole di equazione x2y2 = 1, si può definire in modo analogo il seno iperbolico di α come la cordinata y dell’intersezione tra una retta passante per l’origine e l’iperbole, che delimiti insieme con l’iperbole e la retta delle ascisse un’area α / 2, come mostra la figura seguente.

 

Definizione geometrica della funzione seno iperbolico

 

Se l’area è misurata col quadrato dell’unità di misura lineare adottata, il seno iperbolico di α è la lunghezza di AB. Facendo tendere a 1 il coefficiente angolare della retta OA, l’area tende all’infinito, quindi la funzione è definita per qualsiasi α positivo. Considerando la parte di iperbole al di sotto della retta delle ascisse, simmetrica rispetto all’asse x (non mostrata nella figura) possiamo estendere la definizione a valori negativi di α, analogamente a come si definiscono le funzioni trigonometriche per angoli negativi.

 

La funzione è dispari, sempre crescente, nel campo reale si annulla solo per x = 0 e tende a meno infinito per x tendente a meno infinito e a infinito per x tendente a infinito.

La figura seguente mostra una parte del grafico della funzione.

 

Grafico della funzione seno iperbolico

 

 

La definizione analitica sinh(z) = (e^z – e^(–z)) / 2 permette di estendere la definizione all’intero campo complesso; nel campo complesso la funzione si annulla per x = inπ, con n intero.

 

I valori della funzione sono trascendenti per argomenti algebrici reali diversi da 0, sono algebrici se l’argomento ha la forma i * m / n * π con m e n interi. In particolare sinh(i * m / n * π) può essere espresso utilizzando solo le quattro operazioni e l’estrazione di radice quadrata se m è intero e n è il prodotto di una potenza di 2 (incluso 1) e di primi di Fermat distinti (anche nessuno).

 

Analogamente alla relazione fondamentale tra seno e coseno, sin2x + cos2x = 1, la relazione fondamentale tra seno e coseno iperbolici è cosh2x – sinh2x = 1.

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