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Favo (congettura del)

Congetture  Geometria 

La congettura del favo afferma che la figura che tassella il piano con minimo perimetro a parità di superficie è l’esagono regolare.

 

La congettura è antichissima: Pappo di Alessandria (Alessandria, Egitto, circa 290 d.C. – circa 350 d.C.) osservò che il motivo per il quale le celle delle api hanno sezione esagonale è che permettono di risparmiare cera e dimostrò che l’esagono regolare permette un risparmio rispetto a quadrato e triangolo equilatero, a parità di area.

Le celle dei favi sono prismi quindi per minimizzare la quantità di cera necessaria, a parità di volume delle celle e spessore delle pareti, bisogna minimizzare il perimetro. Il problema si può quindi riformulare, come fece Keplero, chiedendo quale sia la figura che riempie il piano con copie uguali, che abbia il minimo il perimetro.

Keplero affermò che la soluzione è l’esagono regolare, senza fornire dimostrazioni.

 

Charles Robert Darwin (Shrewsbury, UK, 12/2/1809 – Downe, UK, 19/4/1882) risolse a modo suo il problema, affermando che siccome produrre cera costa energia, l’evoluzione di milioni di generazioni di api ha condotto alla soluzione migliore. Argomento molto convincente per chiunque, tranne per i matematici.

 

Nel 1943 Fejes-Tóth dimostrò che l’esagono regolare è la figura migliore, tra quelle convesse.

 

Nel 1999 Denis Weaire portò il problema all’attenzione di Thomas Callister Hales, che lo risolse rapidamente, dimostrando che l’esagono regolare è la figura migliore, senza ipotizzare la convessità. La dimostrazione, classica ed elegante, è lunga una ventina di pagine.

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