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Coefficienti binomiali

Algebra  Matematica combinatoria 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Proprietà
  3. 3. Formule con coefficienti binomiali
  4. 4. Congruenze con coefficienti binomiali
  5. 5. Divisori dei coefficienti binomiali
  6. 6. Valori

Alcune serie contenenti coefficienti binomiali:

Serie che coinvolge coefficienti binomiali, per mn;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali e in particolare Serie che coinvolge coefficienti binomiali;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali, per r < n;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali, per n > 0;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali, se P(k) è un polinomio di grado minore di n, e in particolare Serie che coinvolge coefficienti binomiali, per n > m, e Serie che coinvolge coefficienti binomiali;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali, per mn, e in particolare Serie che coinvolge coefficienti binomiali, per mn, e Serie che coinvolge coefficienti binomiali;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali, per m < n;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali e in particolare Serie che coinvolge coefficienti binomiali;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali (P. Flajolet e R. Sedgewick, 1995), dove Bn(x1, x2, … xn) è un polinomio di Bell completo e Hn, k è un numero armonico generalizzato, e in particolare Serie che coinvolge coefficienti binomiali (Eulero), Serie che coinvolge coefficienti binomiali e Serie che coinvolge coefficienti binomiali;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali (Donal F. Connon, 2010), dove Bn(x1, x2, … xn) è un polinomio di Bell completo e Hn, k è un numero armonico generalizzato

Serie che coinvolge coefficienti binomiali;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali, per nm;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali, per nrk;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali, per nm, e in particolare Serie che coinvolge coefficienti binomiali e Serie che coinvolge coefficienti binomiali;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali, per nm;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali per m > n + r;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali, per nr e mr; questa identità è detta convoluzione di Vandermonde, perché da questi pubblicata nel 1772; tuttavia appare in un trattato di Chu Shih-chieh del 1303 ed è quindi più propriamente chiamata “convoluzione di Chu – Vandermonde” e probabilmente meriterebbe d’essere chiamata “convoluzione di Chu” (v. coefficienti binomiali generalizzati);

Serie che coinvolge coefficienti binomiali, per nm;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali, per ba e ca, e in particolare Serie che coinvolge coefficienti binomiali (identità di A.C. Dixon, 1891);

Serie che coinvolge coefficienti binomiali, prendendo H0 = 0, per 1 ≤ kn;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali (Zhi-Wei Sun, 2002);

Serie che coinvolge coefficienti binomiali, per n pari, e Serie che coinvolge coefficienti binomiali, per n dispari.

 

Dal teorema di de Moivre si ricavano le due somme: Formula per sin(nx) e Formula per cos(nx).

 

Se P(x) è un polinomio di grado inferiore a n, Serie che coinvolge coefficienti binomiali.

Se P(x) è un polinomio di grado non superiore a n, Serie che coinvolge coefficienti binomiali, con z e w anche complessi, e in particolare Serie che coinvolge coefficienti binomiali, dove an è il coefficiente del termine di grado n in P(x).

 

Data una successione di m numeri naturali nk, Serie che coinvolge coefficienti binomiali.

 

Serie che coinvolge coefficienti binomiali, per nr, che per n = 2r – 1 si riduce a Serie che coinvolge coefficienti binomiali.

 

Serie che coinvolge coefficienti binomiali per nr + m; per r = 0 si ottiene Serie che coinvolge coefficienti binomiali per nm e quindi Serie che coinvolge coefficienti binomiali.

Altre serie simili con quadrati di coefficienti binomiali:

Serie che coinvolge quadrati di coefficienti binomiali;

Serie che coinvolge quadrati di coefficienti binomiali;

Serie che coinvolge quadrati di coefficienti binomiali.

 

Per somme di potenze di coefficienti binomiali con esponenti superiori a 2 non si conoscono rappresentazioni altrettanto compatte, tuttavia definendo Somma delle r-esime potenze di coefficienti binomiali, valgono le seguenti relazioni:

  • Relazione ricorsiva per la somma dei quadrati di coefficienti binomiali;

  • Relazione ricorsiva per la somma dei cubi di coefficienti binomiali (Franel, 1894);

  • Relazione ricorsiva per la somma delle quarte potenze di coefficienti binomiali (Franel, 1894).

Ricorrenze analoghe sono state trovate anche per esponenti 5 e 6.

 

Per serie analoghe a segni alterni valgono le formule:

Formula per la somma a segni alterni dei quadrati di coefficienti binomiali

Formula per la somma a segni alterni dei cubi di coefficienti binomiali

 

Serie che coinvolge coefficienti binomiali, per n > 0, dove la somma va calcolata su tutte le r radici r-esime (complesse) dell’unità, indicate con ρj. In particolare:

  • Serie che coinvolge coefficienti binomiali;

  • Serie che coinvolge coefficienti binomiali
  • Serie che coinvolge coefficienti binomiali

 

Alcune serie contenenti coefficienti binomiali e potenze di variabili:

Serie che coinvolge coefficienti binomiali e potenze di variabili, per |x| < 1;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali e potenze di variabili, per |x| < 1;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali e potenze di variabili;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali e potenze di variabili, con z complesso, diverso da zero e |z| < 1;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali e potenze di variabili;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali e potenze di variabili;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali e potenze di variabili;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali e potenze di variabili (Teorema di Abel, 1826);

Serie che coinvolge coefficienti binomiali e potenze di variabili (Abel, 1826);

Serie che coinvolge coefficienti binomiali e potenze di variabili (Abel, 1826);

Serie che coinvolge coefficienti binomiali e potenze di variabili;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali e potenze di variabili, per |x| < 1 e |y| < 1;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali e potenze di variabili, per |x| < 1 e |y| < 1;

Serie che coinvolge coefficienti binomiali e potenze di variabili, per |x| < 1;

 

Per n pari, Serie che coinvolge coefficienti binomiali e potenze di variabili, ovvero l’equazione Equazione che coinvolge coefficienti binomiali ha per soluzioni Soluzione dell'equazione per k da 1 a n; somma e prodotto delle radici di un’equazione in un’incognita si ricavano dai coefficienti di grado immediatamente inferiore al massimo e di grado zero, pertanto Somma delle soluzioni dell'equazione e Prodotto delle soluzioni dell'equazione.

 

Alcune serie con reciproci di coefficienti binomiali (in queste formule W(n, k) è un numero di Worpitzky):

Serie che coinvolge reciproci di coefficienti binomiali;

Serie che coinvolge reciproci di coefficienti binomiali, per k > 2 e mk;

Serie che coinvolge reciproci di coefficienti binomiali (Hacène Belbachir e Mourad Rahman, 2012);

Serie che coinvolge reciproci di coefficienti binomiali (T. Trif, 2000);

Serie che coinvolge reciproci di coefficienti binomiali (B. Sury, Tianming Wang e Feng-Zhen Zhao, 2004);

Serie che coinvolge reciproci di coefficienti binomiali (B. Sury, Tianming Wang e Feng-Zhen Zhao, 2004);

Serie che coinvolge reciproci di coefficienti binomiali, dove Simbolo di Legendre (n | p) è il simbolo di Legendre; supposta da Zhi-Wei Sun nel 2010 e dimostrata l’anno seguente da Khodabakhsh Hessami Pilehrood e Tatiana Hessami Pilehrood;

Serie che coinvolge reciproci di coefficienti binomiali (Hacène Belbachir e Mourad Rahman, 2012) e in particolare Serie che coinvolge reciproci di coefficienti binomiali e Serie che coinvolge reciproci di coefficienti binomiali.

 

Altre formule con coefficienti binomiali:

Integrale che coinvolge coefficienti binomiali, per nm;

Integrale che coinvolge coefficienti binomiali, per nm;

Integrale che coinvolge coefficienti binomiali, per nm;

Integrale che coinvolge coefficienti binomiali, per mp.

Bibliografia

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    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

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    Una stupenda raccolta di saggi su argomenti disparati.

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    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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