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Coefficienti binomiali

Algebra  Matematica combinatoria 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Proprietà
  3. 3. Formule con coefficienti binomiali
  4. 4. Congruenze con coefficienti binomiali
  5. 5. Divisori dei coefficienti binomiali
  6. 6. Valori

I valori soddisfano i limiti:

Limiti dei valori dei coefficienti binomiali;

Limite inferiore dei valori dei coefficienti binomiali, per m > 1 e n > 0;

Coefficiente binomiale C(n^2, n) > p(n)#, per 2 < n < 1794, e Coefficiente binomiale C(n^2, n) < p(n)#, per n ≥ 1794 (H.Gupta e S.P. Khare);

Limite superiore per somme di coefficienti binomiali;

Limite superiore per somme di coefficienti binomiali, per n > 0 e Limiti per il valore di ε.

 

Per k minore della radice quadrata di n vale l’approssimazione Approssimazione per i coefficienti binomiali.

Per n grande e k piccolo rispetto a n vale l’approssimazione Approssimazione per i coefficienti binomiali.

 

Coefficiente binomiale C(n, k), Coefficiente binomiale C(n, k + 1)Coefficiente binomiale C(n, k + 2) stanno tra loro come 1:2:3 solo per n = 14, k = 4 (D. Singmaster).

 

Le funzioni generatrici dei coefficienti binomiali sono:

Funzione generatrice dei coefficienti binomiali;

Funzione generatrice dei coefficienti binomiali;

Funzione generatrice dei coefficienti binomiali.

La funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei coefficienti binomiali.

 

Le tabelle seguenti riportano i primi valori.

n \ k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

3

3

1

 

 

 

 

 

 

 

4

1

4

6

4

1

 

 

 

 

 

 

5

1

5

10

10

5

1

 

 

 

 

 

6

1

6

15

20

15

6

1

 

 

 

 

7

1

7

21

35

35

21

7

1

 

 

 

8

1

8

28

56

70

56

28

8

1

 

 

9

1

9

36

84

126

126

84

36

9

1

 

10

1

10

45

120

210

252

210

120

45

10

1

11

1

11

55

165

330

462

462

330

165

55

11

12

1

12

66

220

495

792

924

792

495

220

66

13

1

13

78

286

715

1287

1716

1716

1287

715

286

14

1

14

91

364

1001

2002

3003

3432

3003

2002

1001

15

1

15

105

455

1365

3003

5005

6435

6435

5005

3003

16

1

16

120

560

1820

4368

8008

11440

12870

11440

8008

17

1

17

136

680

2380

6188

12376

19448

24310

24310

19448

18

1

18

153

816

3060

8568

18564

31824

43758

48620

43758

19

1

19

171

969

3876

11628

27132

50388

75582

92378

92378

20

1

20

190

1140

4845

15504

38760

77520

125970

167960

184756

 

n \ k

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

11

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

12

1

 

 

 

 

 

 

 

 

13

78

13

1

 

 

 

 

 

 

 

14

364

91

14

1

 

 

 

 

 

 

15

1365

455

105

15

1

 

 

 

 

 

16

4368

1820

560

120

16

1

 

 

 

 

17

12376

6188

2380

680

136

17

1

 

 

 

18

31824

18564

8568

3060

816

153

18

1

 

 

19

75582

50388

27132

11628

3876

969

171

19

1

 

20

167960

125970

77520

38760

15504

4845

1140

190

20

1

 

Quante volte ogni numero è un coefficiente binomiale?

L’unico intero che sia coefficiente binomiale una sola volta è 2: Coefficiente binomiale C(2, 1).

Tutti gli interi maggiori di 2 sono coefficienti binomiali almeno 2 volte, perché Valore che è due volte coefficiente binomiale.

Tutti i coefficienti binomiali centrali Coefficiente binomiale C(2m, m) sono coefficienti binomiali almeno 3 volte, perché Valore che è tre volte coefficiente binomiale. I 15 maggiori di 1 e minori di 109 sono coefficienti binomiali esattamente 3 volte:

  • Valore che è tre volte coefficiente binomiale,

  • Valore che è tre volte coefficiente binomiale,

  • Valore che è tre volte coefficiente binomiale,

  • Valore che è tre volte coefficiente binomiale,

  • Valore che è tre volte coefficiente binomiale,

  • Valore che è tre volte coefficiente binomiale,

  • Valore che è tre volte coefficiente binomiale,

  • Valore che è tre volte coefficiente binomiale,

  • Valore che è tre volte coefficiente binomiale,

  • Valore che è tre volte coefficiente binomiale,

  • Valore che è tre volte coefficiente binomiale,

  • Valore che è tre volte coefficiente binomiale,

  • Valore che è tre volte coefficiente binomiale,

  • Valore che è tre volte coefficiente binomiale,

  • Valore che è tre volte coefficiente binomiale.

 

Ogni intero n che sia coefficiente binomiale Coefficiente binomiale C(m, k) con Limiti per il valore di k (e quindi non centrale) è coefficiente binomiale almeno 4 volte, perché Valore che è quattro volte coefficiente binomiale e in particolare tutti i numeri triangolari, tetraedrici e ipertetraedrici sono coefficienti binomiali almeno 4 volte.

Vi sono infiniti numeri che sono almeno 6 volte coefficienti binomiali, i 6 inferiori a 109 sono:

  • Valore che è sei volte coefficiente binomiale,

  • Valore che è sei volte coefficiente binomiale,

  • Valore che è sei volte coefficiente binomiale,

  • Valore che è sei volte coefficiente binomiale,

  • Valore che è sei volte coefficiente binomiale,

  • Valore che è sei volte coefficiente binomiale.

In particolare, sono almeno 6 volte coefficienti binomiali i numeri Valori che sono almeno sei volte coefficienti binomiali, per n > 0, dove Fn è un numero di Fibonacci. Per n = 2 otteniamo 3003, per n = 2 otteniamo 61218182743304701891431482520.

Valore che èottoi volte coefficiente binomiale è coefficiente binomiale 8 volte.

Non si conoscono numeri che siano coefficienti binomiali un numero dispari maggiore di 3 volte, né altri numeri che siano coefficienti binomiali più di 6 volte; se esistono, sono maggiori di 109.

Bibliografia

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    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

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    Una stupenda raccolta di saggi su argomenti disparati.

  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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