Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Stupefacenti (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Sono chiamati “stupefacenti” (“astonishing” nella letteratura anglosassone, come proposto da Richard Hoshino nel 2001) i numeri naturali n, la cui rappresentazione in base 10 può essere suddivisa in due parti x e y, tali che n sia la somma degli interi da x a y. Per esempio, 429 è stupefacente, perché è la somma degli interi da 4 a 29 e 204 è stupefacente, perché è la somma degli interi da 4 a 20.

Dato che sono possibili due definizioni dei numeri stupefacenti, chiameremo “numeri stupefacenti del primo tipo” quelli definiti da Hoshimo.

 

In un elegante articolo, Hoshino dimostrò nel 2001 che se le due parti sono nell’ordine x, y e x < y, allora per trovare i numeri stupefacenti del primo tipo basta scomporre i numeri della forma 5n(10n – 1) come prodotto di due interi positivi p e q, con p dispari, quindi calcolare x = 2^(n – 1) * q – 10^n + (p + 1) / 2 e y = (1 + |2^n * q – p|) / 2, poi verificare se 0 < x < y e se y abbia non più di n cifre, nel qual caso concatenando x e y (eventualmente preceduto da zeri, in modo che sia di n cifre), si ottiene un numero stupefacente.

Per esempio, per n = 2 bisogna scomporre 52(102 – 1) = 2475; una delle possibili scomposizioni è p = 45, q = 55, da cui x = 33 e y = 88; tutte le condizioni sono soddisfatte e concatenandoli otteniamo in numero stupefacente 3388.

 

La dimostrazione di Hoshimo si può generalizzare agli interi stupefacenti del primo tipo in qualsiasi base b. Per trovarli, bisogna scomporre bn(bn – 1) come prodotto di due interi r e s, l’uno pari e l’altro dispari, con r > s, poi calcolare x = (r + s + 1) / 2 – b^n e y = (r – s + 1) / 2; se y < bn, la concatenazione di x e y (in quest’ordine) costituisce un numero stupefacente del primo tipo in base b (M. Fiorentini, 2017). Condizione necessaria perché y < bn è che b^n ≤ r < (b^n – 1 / 2) * (sqrt(2) + 1) e condizione sufficiente è che b^n ≤ r < (b^n – 1) * (sqrt(2) + 1).

Per esempio, per b = 10 e n = 2 bisogna scomporre 9900 come prodotto di due numeri, il maggiore dei quali non superiore a 240; la tabella seguente mostra i risultati.

r

s

x

y

Numero stupefacente

100

99

0

1

1

132

75

4

29

429

165

60

13

53

1353

180

55

18

63

1863

220

45

33

88

3388

225

44

35

91

3591

 

 

I numeri stupefacenti del primo tipo sono infiniti in qualsiasi base che non sia una potenza di 2, mentre in basi uguali a una potenza di 2 vi è il solo 1 (M. Fiorentini, 2017).

 

In qualsiasi base, tranne il caso banale di 1, i numeri stupefacenti del primo tipo sono trapezoidali.

 

La tabella seguente mostra i numeri stupefacenti del primo tipo fino a 106 nelle basi da 1 a 20.

Base

Numeri stupefacenti del primo tipo

Interi sommati

2

12 = 1

0 .. 1

3

13 = 1

203 = 6

21023 = 65

212103 = 210

10211223 = 935

11212123 = 1184

12012123 = 1265

120100123 = 3731

202102023 = 4961

2021202103 = 15006

2120202123 = 16952

12121010123 = 36725

211122101123 = 148568

1010222212023 = 203357

1120010001123 = 276305

2020210202023 = 398945

10112011121123 = 624416

0 .. 1 

1 .. 3 

2 .. 11 

7 .. 21 

11 .. 44 

14 .. 50 

5 .. 50 

5 .. 86 

20 .. 101 

61 .. 183 

23 .. 185 

50 .. 275 

203 .. 581 

278 .. 695 

14 .. 743 

182 .. 911 

95 .. 1121 

4

14 = 1

0 .. 1

5

15 = 1

3235 = 88

31035 = 403

22321235 = 39663

31323135 = 52208

102332235 = 86688

230100235 = 203763

303103035 = 244453

0 .. 1 

3 .. 13 

3 .. 28 

63 .. 288 

83 .. 333 

138 .. 438 

13 .. 638 

78 .. 703 

6

16 = 1

146 = 10

1136 = 45

5326 = 200

10346 = 238

22556 = 539

402536 = 5289

453126 = 6380

1023426 = 8342

10513056 = 53465

11213256 = 57365

14515326 = 84656

35024356 = 179447

44531126 = 224900

102234226 = 298886

153451106 = 542850

210053136 = 607725

212353516 = 627187

214254156 = 641459

0 .. 1 

1 .. 4 

1 .. 9 

5 .. 20 

6 .. 22 

14 .. 35 

24 .. 105 

29 .. 116 

38 .. 134 

41 .. 329 

44 .. 341 

65 .. 416 

23 .. 599 

173 .. 692 

230 .. 806 

418 .. 1122 

468 .. 1197 

483 .. 1219 

494 .. 1235 

7

17 = 1

267 = 20

24647 = 928

41047 = 1425

141547 = 3861

1525167 = 29756

2446447 = 44916

25422547 = 329760

43430347 = 531675

0 .. 1 

2 .. 6 

18 .. 46 

4 .. 53 

11 .. 88 

86 .. 258 

130 .. 326 

137 .. 823 

221 .. 1054 

8

18 = 1

0 .. 1

9

19 = 1

12489 = 935

15559 = 1184

51059 = 3731

252259 = 16952

553359 = 36725

2457159 = 148568

3388529 = 203357

11514759 = 624416

0 .. 1 

11 .. 44 

14 .. 50 

5 .. 86 

23 .. 185 

50 .. 275 

203 .. 581 

278 .. 695 

95 .. 1121 

10

1

15

27

429

1353

1863

3078

3388

3591

7119

78403

133533

178623

0 .. 1

1 .. 5

2 .. 7

4 .. 29

13 .. 53

18 .. 63

3 .. 78

33 .. 88

35 .. 91

7 .. 119

78 .. 403

133 .. 533

178 .. 623

11

111 = 1

3911 = 42

63611 = 765

369611 = 4824

610611 = 8113

3627611 = 52234

11651611 = 184300

17663611 = 272289

28382911 = 444222

36696611 = 580146

0 .. 1 

3 .. 9 

6 .. 39 

39 .. 105 

6 .. 127 

39 .. 325 

138 .. 622 

204 .. 765 

333 .. 999 

435 .. 1161 

12

112 = 1

32612 = 462

A4712 = 1495

2B25212 = 60830

0 .. 1 

3 .. 30 

10 .. 55 

35 .. 350 

13

113 = 1

176713 = 3465

278713 = 5688

710713 = 15555

B74B713 = 330376

0 .. 1 

20 .. 85 

33 .. 111 

7 .. 176 

150 .. 826 

14

114 = 1

3A14 = 52

53314 = 1025

84114 = 1625

B4B14 = 2223

2B9414 = 7774

44BB14 = 11925

54D414 = 14690

19871014 = 906906

0 .. 1 

3 .. 10 

5 .. 45 

8 .. 57 

11 .. 67 

39 .. 130 

60 .. 165 

74 .. 186 

330 .. 1386 

15

115 = 1

1615 = 21

4C15 = 72

7015 = 105

73C15 = 1632

D5315 = 3003

48C815 = 15488

5BE515 = 19565

810815 = 27233

723C215 = 361982

CD52315 = 652533

13B63B15 = 949781

0 .. 1 

1 .. 6 

4 .. 12 

6 .. 15 

7 .. 57 

13 .. 78 

68 .. 188 

86 .. 215 

8 .. 233 

107 .. 857 

193 .. 1158 

281 .. 1406 

16

116 = 1

0 .. 1

17

117 = 1

39B917 = 17536

910917 = 44515

0 .. 1 

60 .. 196 

9 .. 298 

18

118 = 1

4D18 = 85

126818 = 6596

1H8B18 = 11495

3EC518 = 22253

55EE18 = 31046

2G27718 = 304045

0 .. 1 

4 .. 13 

20 .. 116 

35 .. 155 

68 .. 221 

95 .. 266 

52 .. 781 

19

119 = 1

5F19 = 110

A4A19 = 3696

5AFA19 = 38200

7AIA19 = 51975

A10A19 = 68961

0 .. 1 

5 .. 15

10 .. 86 

105 .. 295 

143 .. 352 

10 .. 371 

20

120 = 1

63A20 = 2470

F5B20 = 6111

136I20 = 9338

2DAD20 = 21413

74I920 = 57969

0 .. 1 

6 .. 70 

15 .. 111 

23 .. 138 

53 .. 213 

144 .. 369 

 

Con ulteriori analisi Hoshino dimostrò che per x = 1(3)n, y = 5(3)n il numero ottenuto dalla concatenazione di x e y è stupefacente in base 10 per ogni intero n maggiore di 0 vale a dire che i numeri 1(3)n5(3)n 133533, 13335333 etc. sono stupefacenti, dimostrando così che i numeri stupefacenti in base 10 sono infiniti.

Hoshimo trovò le seguenti sequenze infinite di numeri stupefacenti in base 10:

  • 1(3)n5(3)n, per n non negativo;

  • 1(7)n86(3)n2, per n non negativo;

  • 273(13)n2353(13)n, per n non negativo;

  • 1120(128)n1348638(718)n8, per n maggiore di 0.

 

Sequenze del genere sembrano esserci in qualsiasi base diversa dalle potenze di 2; la tabella seguente mostra le sequenze note nelle basi fino a 20; n indica un intero non negativo (M. Fiorentini 2017).

Base

Sequenze

2

Nessuna

3

(20)n2101(02)n

4

Nessuna

5

(30)n3103(03)n

(31)n323(13)n

6

10(2)n34(2)n

1(05)n13(05)n

2(14)n25(41)n5

(4)n53(1)n2

7

(15)n2(51)n6

2(4)n6(4)n

(40)n4104(04)n

8

Nessuna

9

(50)n5105(05)n

10

1(3)n5(3)n

1(7)n86(3)n2

273(13)n2353(13)n

1120(128)n1348638(718)n8

11

(60)n6106(06)n

3(6)n9(6)n

12

2(A)nB25(1)n2

13

1(16)n7(56)n67

1(6A)n76(62)n7

27(57)n87(57)n

(70)n7107(07)n

14

2(A)nB9(3)n4

4(3A)n4B(A3)nB14

5(1B)n33(1B)n

54(94)nD4(94)n

(B2)nB4B(2B)n

15

4(8)nC(8)n

5(A)nBE(4)n5

7(2)n3C(2)n

(80)n8108(08)n

(C)nD5(2)n3

16

Nessuna

17

(90)n9109(09)n

18

1H(5)n8B(5)n

3(D)nEC(4)n

19

5(A)nF(A)n

(A0)nA10A(0A)n

(A2)nA4A(2A)n

20

6(1I)n3A(1I)n

F(3)n5B(3)n

 

In particolare in qualsiasi base b = 2k – 1 dispari esiste la sequenza (k0)nk10(0k)n.

 

I numeri stupefacenti del secondo tipo sono definiti in modo analogo, ma col limite superiore della somma posto prima del limite inferiore. Per esempio, 204 è stupefacente del secondo tipo, perché uguale alla somma degli interi da 4 a 20.

 

Anche in questo caso la definizione si generalizza a qualsiasi base b ed esiste un metodo relativamente semplice per trovarli tutti: bisogna scomporre bn(bn – 1) come prodotto di due interi r e s, l’uno pari e l’altro dispari, con r > s, poi calcolare x = (r – s – 1) / 2 e y = b^n + (r + s – 1) / 2; se x < bn, la concatenazione di y e x (in quest’ordine) costituisce un numero stupefacente del secondo tipo in base b (M. Fiorentini, 2017). Condizione necessaria perché x < bn è che b^n + (1 + sqrt(8 * b^(2 * n) + 1)) / 2 < (sqrt(2) + 1) * b^n + 1 e condizione sufficiente è che b^n ≤ r < (sqrt(2) + 1) * b^n + 1.

 

I numeri stupefacenti del secondo tipo sono infiniti in qualsiasi base (M. Fiorentini, 2017).

 

I numeri triangolari T2bn – 1 = bn(2bn – 1) sono stupefacenti del secondo tipo in base b; questi sono anche gli unici numeri stupefacenti del secondo tipo se b è una potenza di 2 (M. Fiorentini, 2017). In particolare, i numeri perfetti sono stupefacenti del secondo tipo in base 2.

 

La tabella seguente mostra i numeri stupefacenti del secondo tipo fino a 106 nelle basi da 1 a 20.

Base

Numeri stupefacenti del secondo tipo

Interi sommati

2

1102 = 6

111002 = 28

11110002 = 120

1111100002 = 496

111111000002 = 2016

11111110000002 = 8128

1111111100000002 = 32640

111111111000000002 = 130816

11111111110000000002 = 523776

0 .. 3 

0 .. 7 

0 .. 15 

0 .. 31 

0 .. 63 

0 .. 127 

0 .. 255 

0 .. 511 

0 .. 1023 

3

1203 = 15

2023 = 20

122003 = 153

12220003 = 1431

20011013 = 1495

20202023 = 1640

1222200003 = 13041

2010111213 = 13975

2011112113 = 14224

122222000003 = 117855

200011012113 = 119119

200201102013 = 122815

202020202023 = 132860

0 .. 5 

2 .. 6 

0 .. 17 

0 .. 53 

10 .. 55 

20 .. 60 

0 .. 161 

43 .. 172 

49 .. 175 

0 .. 485 

49 .. 490 

100 .. 505 

182 .. 546 

4

1304 = 28

133004 = 496

13330004 = 8128

1333300004 = 130816

0 .. 7 

0 .. 31 

0 .. 127 

0 .. 511 

5

1405 = 45

144005 = 1225

202225 = 1312

14440005 = 31125

20021025 = 31527

1444400005 = 780625

2022221225 = 820287

2031223125 = 832832

2102232225 = 867312

0 .. 9 

0 .. 49 

12 .. 52 

0 .. 249 

27 .. 252 

0 .. 1249 

287 .. 1312 

332 .. 1332 

437 .. 1387 

6

1506 = 66

2036 = 75

155006 = 2556

200126 = 2600

204316 = 2755

205336 = 2793

221546 = 3094

15550006 = 93096

20352526 = 98384

20443116 = 99475

21013416 = 101437

0 .. 11 

3 .. 12 

0 .. 71 

8 .. 72 

19 .. 76 

21 .. 77 

34 .. 85 

0 .. 431 

104 .. 455 

115 .. 460 

133 .. 469 

7

1607 = 91

2157 = 110

166007 = 4753

223637 = 5680

16660007 = 234955

20031037 = 236379

20131537 = 238815

21515157 = 264710

22436437 = 279870

0 .. 13 

5 .. 15 

0 .. 97 

45 .. 115 

0 .. 685 

52 .. 689 

87 .. 696 

257 .. 771 

325 .. 815 

8

1708 = 120

177008 = 8128

17770008 = 523776

1777700008 = 33550336

0 .. 15 

0 .. 127 

0 .. 1023 

0 .. 8191 

9

1809 = 153

188009 = 13041

211479 = 13975

214549 = 14224

0 .. 17 

0 .. 161 

43 .. 172 

49 .. 175 

10

190

204

216

19900

20328

21252

21762

23287

23490

0 .. 19

4 .. 20

6 .. 21

0 .. 199

28 .. 203

52 .. 212

62 .. 217

87 .. 232

90 .. 234

11

1A011 = 231

22811 = 272

1AA0011 = 29161

2053511 = 29925

2359511 = 33984

0 .. 21 

8 .. 24 

0 .. 241 

38 .. 247 

104 .. 280 

12

1B012 = 276

1BB0012 = 41328

2022512 = 41789

2094612 = 42822

0 .. 23 

0 .. 287 

29 .. 290 

54 .. 297 

13

1C013 = 325

1CC0013 = 56953

2166613 = 60417

2268613 = 62640

0 .. 25 

0 .. 337 

84 .. 357 

110 .. 370 

14

1D014 = 378

22914 = 429

1DD0014 = 76636

2043214 = 77660

2074014 = 78260

20A4A14 = 78858

22A9314 = 84409

243BA14 = 88560

253D314 = 91325

0 .. 27 

9 .. 30 

0 .. 391 

44 .. 396 

56 .. 399 

66 .. 402 

129 .. 430 

164 .. 451 

185 .. 465 

15

1E015 = 435

20515 = 455

23B15 = 506

25E15 = 539

1EE0015 = 101025

2063B15 = 102656

20C5215 = 104027

247C715 = 116512

25AE415 = 120589

0 .. 29 

5 .. 30 

11 .. 33 

14 .. 35 

0 .. 449 

56 .. 456 

77 .. 462 

187 .. 517 

214 .. 535 

16

1F016 = 496

1FF0016 = 130816

0 .. 31 

0 .. 511 

17

1G017 = 561

1GG0017 = 166753

238B817 = 184288

0 .. 33 

0 .. 577 

195 .. 637 

18

1H018 = 630

23C18 = 714

1HH0018 = 209628

2116718 = 216223

21G8A18 = 221122

23DC418 = 231880

254ED18 = 240673

0 .. 35 

12 .. 39 

0 .. 647 

115 .. 667 

154 .. 682 

220 .. 715 

265 .. 742 

19

1I019 = 703

24E19 = 812

1II0019 = 260281

2094919 = 263976

259F919 = 298480

279I919 = 312255

0 .. 37 

14 .. 42 

0 .. 721 

85 .. 731 

294 .. 826 

351 .. 864 

20

1J020 = 780

1JJ0020 = 319600

2053920 = 322069

20E5A20 = 325710

2126H20 = 328937

22CAC20 = 341012

273I820 = 377568

0 .. 39 

0 .. 799 

69 .. 805 

110 .. 814 

137 .. 822 

212 .. 852 

368 .. 943 

 

Come per i numeri stupefacenti del primo tipo, anche per quelli del secondo tipo esistono sequenze infinite di numeri stupefacenti in qualsiasi base; la tabella seguente mostra le sequenze note nelle basi fino a 20; n indica un intero non negativo (M. Fiorentini 2017).

Base

Sequenze

2

11(1)n0(0)n

3

1(2)n20(0)n

200(20)n110(20)n1

(20)n202(02)n

4

13(3)n0(0)n

5

14(4)n0(0)n

6

15(5)n0(0)n

20(4)n3(1)n

210(2)n134(2)n1

22(14)n154(14)n

7

16(6)n0(0)n

215(1515)n

22(4)n36(4)n3

200(40)n310(40)n3

8

17(7)n0(0)n

9

18(8)n0(0)n

211(71)n47(17)n

21(53)n45(53)4n

10

19(9)n0(0)n

203(87)n28(12)n

21(3)n25(3)n2

21(7)n6(2)n

232(72)n87(27)n

11

1A(A)n0(0)n

228(2828)n

205(95)n35(15)n

23(6)n59(6)n5

12

1B(B)n0(0)n

202(A)n25(1)n

13

1C(C)n0(0)n

14

1D(D)n0(0)n

22(A)n9(3)n

15

1E(E)n0(0)n

20(C)n5(2)n

23B(3B3B)n

24(8)n7C(8)n715

25(A)nE(4)n

16

1F(F)n0(0)n

17

1G(G)n0(0)n

18

1H(H)n0(0)n

23(D)nC(4)n

19

1I(I)n0(0)n

24E(4E4E)n

259(A)nF(A)n9

20

1J(J)n0(0)n

 

In particolare in qualsiasi base b esiste la sequenza 1(b – 1)n(0)n, per n > 0.

Bibliografia

  • Hoshino, Richard;  "Astonishing Pairs of Numbers" in Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem, n. 27:1, 2001, pag. 39 – 44.

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