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Narayana (polinomi di)

Polinomi 

I polinomi di Narayana Nn(x) sono definiti come Formula per la definizione dei polinomi di Narayana, dove N(n, k) è un numero di Narayana (II). Sono polinomi a coefficienti interi positivi, con coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1 e termine costante nullo.

 

Per alcuni valori interi della variabile i valori dei polinomi possono essere espressi in forma semplice:

N2n(–1) = 0;

N2n + 1(–1) = (–1)n + 1Cn, dove Cn è l’n-esimo numero di Catalan;

Nn(0) = 0;

Nn(1) è l’n-esimo numero di Catalan.

Nn(2) è l’n-esimo numero di Schröder.

 

Alcune formule che coinvolgono polinomi di Narayana, nelle quali Cn è l’n-esimo numero di Catalan:

Formula per il calcolo dei polinomi di Narayana (Toufik Mansour e Yidong Sun, 2008);

Formula per il calcolo dei polinomi di Narayana (Toufik Mansour e Yidong Sun, 2008);

Formula per il calcolo dei polinomi di Narayana, dove Ln(x) è l’n-esimo polinomio di Legendre (Toufik Mansour e Yidong Sun, 2008);

Formula che coinvolge i polinomi di Narayana (Toufik Mansour e Yidong Sun, 2008);

Formula che coinvolge i polinomi di Narayana, per n pari (Toufik Mansour e Yidong Sun, 2008);

Formula che coinvolge i polinomi di Narayana, per n dispari (Toufik Mansour e Yidong Sun, 2008);

Formula che coinvolge i polinomi di Narayana (Toufik Mansour e Yidong Sun, 2008).

 

La figura seguente mostra parte del grafico dei primi polinomi di Narayana.

 

Grafico dei primi polinomi di Narayana

 

 

La tabella seguente mostra i polinomi di Narayana fino a N20(x).

n

Nn(x)

1

x

2

x2 + x

3

x3 + 3x2 + x

4

x4 + 6x3 + 6x2 + x

5

x5 + 10x4 + 20x3 + 10x2 + x

6

x6 + 15x5 + 50x4 + 50x3 + 15x2 + x

7

x7 + 21x6 + 105x5 + 175x4 + 105x3 + 21x2 + x

8

x8 + 28x7 + 196x6 + 490x5 + 490x4 + 196x3 + 28x2 + x

9

x9 + 36x8 + 336x7 + 1176x6 + 1764x5 + 1176x4 + 336x3 + 36x2 + x

10

x10 + 45x9 + 540x8 + 2520x7 + 5292x6 + 5292x5 + 2520x4 + 540x3 + 45x2 + x

11

x11 + 55x10 + 825x9 + 4950x9 + 13860x7 + 19404x6 + 13860x5 + 4950x4 + 825x3 + 55x2 + x

12

x12 + 66x11 + 1210x10 + 9075x9 + 32670x8 + 60984x7 + 60984x6 + 32670x5 + 9075x4 + 1210x3 + 66x2 + x

13

x13 + 78x12 + 1716x11 + 15730x10 + 70785x9 + 169884x8 + 226512x7 + 169884x6 + 70785x5 + 15730x4 + 1716x3 + 78x2 + x

14

x14 + 91x13 + 2366x12 + 26026x11 + 143143x10 + 429429x9 + 736164x8 + 736164x7 + 429429x6 + 143143x5 + 26026x4 + 2366x3 + 91x2 + x

15

x15 + 105x14 + 3185x13 + 41405x12 + 273273x11 + 1002001x10 + 2147145x9 + 2760615x8 + 2147145x7 + 1002001x6 + 273273x5 + 41405x4 + 2366x3 + 105x2 + x

16

x16 + 120x15 + 4200x14 + 63700x13 + 496860x12 + 2186184x11 + 5725720x10 + 9202050x9 + 9202050x8 + 5725720x7 + 2186184x6 + 496860x5 + 63700x4 + 4200x3 + 120x2 + x

17

x17 + 136x16 + 5440x15 + 95200x14 + 866320x13 + 4504864x12 + 14158144x11 + 27810640x10 + 34763300x9 + 27810640x8 + 14158144x7 + 4504864x6 + 866320x5 + 95200x4 + 5440x3 + 136x2 + x

18

x18 + 153x17 + 6936x16 + 138720x15 + 1456560x14 + 8836464x13 + 32821152x12 + 77364144x11 + 118195220x10 + 118195220x9 + 77364144x8 + 32821152x7 + 8836464x6 + 1456560x5 + 138720x4 + 6936x3 + 153x2 + x

19

x19 + 171x18 + 8721x17 + 197676x16 + 2372112x15 + 16604784x14 + 71954064x13 + 200443464x12 + 367479684x11 + 449141836x10 + 367479684x9 + 200443464x8 + 71954064x7 + 16604784x6 + 2372112x5 + 197676x4 + 8721x3 + 171x2 + x

20

x20 + 190x19 + 10830x18 + 276165x17 + 3755844x16 + 30046752x15 + 150233760x14 + 488259720x13 + 1057896060x12 + 1551580888x11 + 1551580888x10 + 1057896060x9 + 488259720x8 + 150233760x7 + 30046752x6 + 3755844x5 + 276165x4 + 10830x3 + 190x2 + x

 

Vedi anche

Numeri di Narayana.

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