Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

ω(n) è la funzione omega, ossia il numero di fattori primi distinti di n. Per esempio, 12 = 2 • 2 • 3 e ω(12) = 2.

 

Alcune formule che coinvolgono la funzione ω:

Formula che coinvolge la funzione ω, per s > 1;

Disuguaglianza che coinvolge la funzione ω, per n dispari e diverso da 1, 3, 5, 7, 9, 15 e 21 (Harold Shapiro, 1943);

Disuguaglianza che coinvolge la funzione ω, per n > 26, dove Formula per la definizione di K; l’uguaglianza vale solo se n = p189# (ossia n è il prodotto dei primi 189 numeri primi) (G. Robin).

 

ω(n) tende a Formula che coinvolge la funzione ω, dove B1 è la costante di Mertens e γn è l’n-esima costante di Stieltjes, quindi la funzione ω(n) cresce in media come loglogn. Inoltre Limite che coinvolge la funzione ω e Limite che coinvolge la funzione ω.

 

Fissati a e b, con 0 < a < b, la frazione degli interi n tali che a < (ω(n) – log(log(n))) / sqrt(log(log(n)) ≤ b tende a Limite cui tende la frazione di interi che soddisfano la disuguaglianza (Paul Erdös e M. Kac).

 

Il minimo intero n tale che ω(n) = k è pk#.

 

La tabella seguente riporta i valori della funzione ω(n), per n fino a 20.

n

ω(n)

1

0

2

1

3

1

4

1

5

1

6

2

7

1

8

1

9

1

10

2

11

1

12

2

13

1

14

2

15

2

16

1

17

1

18

2

19

1

20

2

 

Esistono coppie di interi consecutivi con lo stesso valore della funzione ω; la tabella seguente riporta i minimi valori di n per i quali ω(n) = ω(n + 1) = k (Farideh Firoozbakht, Martin Fuller e Donovan Johnson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

k

n

Scopritore e anno

1

2

 

2

14

 

3

230

 

4

7314

 

5

254540

Farideh Firoozbakht, 2004

6

11243154

Farideh Firoozbakht, 2004

7

965009045

Farideh Firoozbakht, 2004

8

65893166030

Martin Fuller, 2006

9

5702759516090

Martin Fuller, 2006

10

490005293940084

Donovan Johnson, 2009

11

76622240600506314

Donovan Johnson, 2009

 

La tabella seguente mostra il minimo intero m tale che ω(m – 1) = ω(m + 1) = n (Ray Chandler, Donovan Johnson e Amarnath Murthy, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

m

Scopritore e anno

1

3

 

2

11

 

3

131

 

4

1429

 

5

77141

 

6

1456729

 

7

117048931

Ray Chandler, 2003

8

10326137821

Donovan Johnson, 2008

9

1110819807371

Donovan Johnson, 2008

10

140734085123059

Donovan Johnson, 2009

11

11639258217451019

Donovan Johnson, 2009

 

La tabella seguente mostra il minimo primo p tale che ω(p – 1) = ω(p + 1) = n (Ray Chandler, Donovan Johnson e Amarnath Murthy, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

p

Scopritore e anno

1

3

 

2

11

 

3

131

 

4

1429

 

5

77141

 

6

3847271

 

7

117048931

Ray Chandler, 2003

8

22917541219

Donovan Johnson, 2008

9

1771365487891

Donovan Johnson, 2008

10

140734085123059

Donovan Johnson, 2009

11

14159733947566481

Donovan Johnson, 2009

 

Esistono sequenze di interi consecutivi tali che ω(n) abbia valori crescenti a partire da 1, tali cioè che ω(n) = 1, ω(n + 1) = 2, ω(n + 2) = 3 ecc.; la tabella seguente mostra il minimo intero n a partire dai quali si trovi una sequenza di lunghezza k (Jean-Marie De Koninck, Donovan Johnson, Enoch Haga e Don Reble e Fred Schneider, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

k

n

Scopritore e anno

1

2

 

2

5

 

3

64

 

4

1867

 

5

491851

 

6

17681491

Don Reble, 2003

7

35565206671

Donovan Johnson, 2008

8

43194825904693

Donovan Johnson, 2011

L’unico caso noto in cui il minimo intero della sequenza non sia primo è 64, per n = 3; il minimo primo a partire dal quale vi siano 3 interi con valori crescenti di ω(n) è 103.

 

La somma dei reciproci dei numeri con ω(n) fissato diverge, ma cresce con estrema lentezza; la tabella seguente mostra il minimo valore m tale che Somma dei reciproci degli interi n fino a m con ω(n) = r maggiore o uguale a n, per n da 1 a 6 e r da 1 a 3 (M. Fiorentini, 2017).

n \ r

1

2

3

1

4

44

1953

2

19

236

26277

3

1307

1853

346065

4

266655247

24692

5099011

5

?

627208

87428870

6

?

33757004

1775274478

 

Gli interi tali che Ω(n)ω(n) > n minori di 106 sono: 60, 120, 210, 420, 840, 1260, 1680, 2310, 2730, 3360, 4620, 5460, 6930, 7140, 9240, 10920, 13860, 14280, 15960, 16380, 18480, 21840, 27720, 28560, 30030, 31920, 32760, 36960, 39270, 43680, 43890, 46410, 55440, 57120, 60060, 73920, 78540, 87360, 87780, 90090, 92820, 103740, 106260, 120120, 147840, 157080, 175560, 180180, 185640, 207480, 212520, 235620, 240240, 251160, 314160, 351120, 360360, 371280, 414960, 425040, 471240, 480480, 502320, 510510, 526680, 570570, 628320, 690690, 702240, 720720, 742560, 746130, 829920, 850080, 942480, 960960.

Qui trovate gli interi tali che Ω(n)ω(n) > n minori di 109.

Tutti gli interi con questa proprietà hanno almeno 3 fattori primi distinti; tutti quelli noti sono multipli di 30.

Vedi anche

Funzione Ω.

Bibliografia

  • Berggren, Lenhart;  Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi: a Source Book, Springer-Verlag, 1997 -

    Tutto su π, ma non solo. Contiene anche un articolo di J. Todd sulla costante della lemniscata e un articolo di David A. Cox sulla media aritmetico-geometrica di Gauss.

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Parshin, A.N.;  Shafarevich, I.R.;  Number Theory II, New York, Springer-Verlag, 1992 -

    Trad di Itogi nauki i tekhniti, Sovremennye problemy matematiki, Fundamental’nye napralveniya, Mosca, VINITI, 1990

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