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Aritmetici (numeri)

Teoria dei numeri 

Sono talvolta chiamati “numeri aritmetici” i numeri naturali per i quali la media aritmetica dei divisori è un intero. La media aritmetica dei divisori di n è σ(n) / d(n) = n / H(n), dove H(n) è la media armonica dei divisori di n (v. numeri armonici (II)).

Per esempio, 42 è aritmetico, perché i suoi divisori sono 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 e la loro media aritmetica è Media aritmetica dei divisori di 42.

 

I numeri aritmetici minori di 100 sono: 1, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 27, 29, 30, 31, 33, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 53, 54, 55, 56, 57, 59, 60, 61, 62, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 73, 77, 78, 79, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 99.

 

Tutti i numeri primi dispari sono aritmetici.

 

Øystein Ore dimostrò nel 1948 che:

  • tutti i numeri dispari non multipli di quadrati sono aritmetici;

  • i numeri pari non multipli di quadrati sono aritmetici se e solo se sono multipli di un primo della forma 4k + 3;

  • nessuna potenza di 2 è un numero aritmetico.

 

Antonio M. Oller-Marcén dimostrò nel 2012 che se p è un primo dispari:

  • pp è aritmetico; infatti, Media aritmetica dei divisori di 42 e siccome (p + 1) / 2 è intero, il quoziente è intero;

  • se k + 1 è una potenza di un primo q, pk è aritmetico se e solo se q divide p – 1;

  • se k + 1 è composto, pk è aritmetico se e solo se ogni fattore primo di k + 1 divide pm(k + 1) – 1 per un qualche intero m;

  • se m è un numero di Mersenne, pm è aritmetico;

  • il prodotto di numeri aritmetici primi tra loro è aritmetico.

 

La densità dei numeri aritmetici tende a 1, ossia quasi tutti i numeri sono aritmetici: il numero di quelli non aritmetici minori di n tende a Limite asintotico per la densità dei numeri aritmetici minori di n. Di conseguenza sequenze di parecchi numeri aritmetici consecutivi sono piuttosto comuni: a partire da 3033935561 ve ne sono 105.

I numeri aritmetici sono gli interi per i quali d(n) divide σ(n); da densità di quelli per i quali d(n)2 divide σ(n) tende invece a 1 / 2.

 

Il minimo quadrato magico formato da numeri aritmetici è il seguente.

47

39

46

43

44

45

42

49

41

 

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