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W(x) è la funzione di Lambert, definita come definita come la funzione inversa di yey, ovvero la soluzione dell’equazione x = yey. Quindi se W(x) = y, x = yey.

 

Nel 1758 Lambert intraprese lo studio dell’equazione xaxb = (ab)vxa + b, ora comunemente nota come “equazione trascendente di Lambert”.

Eulero in seguito ne venne a conoscenza e iniziò a studiarla, dando origine a una disputa sulla priorità di alcune serie. Nel 1783 pubblicò infine uno studio su un caso particolare, che si riduce a waw = lx, equazione molto simile a quella che definisce la funzione W, riconoscendo a Lambert la priorità sugli studi dell’equazione.

 

Nel 1844 Eisenstein considerò la funzione Funzione definita tramite una "torre" di potenze, che può essere espressa come Forma alternativa della funzione, espressa tramite la funzione W.

 

Il simbolo W fu introdotto da Pólya e Szegö nel 1925.

 

Tra le applicazioni, la relazione tra tensione, corrente e resistenza in un diodo (Banwell e Jayakumar, 2000) e la traiettoria di un proiettile, tenendo conto dell’attrito con l’aria (Packel e Yuen, 2004).

 

Formule relative alla funzione W.

Formula per il calcolo della funzione W per x compreso tra 1/e ed e;

Formula per il calcolo della funzione W e in generale Formula per il calcolo della funzione W per Valore assoluto di x minore o uguale a 1/e;

Formula per il calcolo della funzione W per Valore assoluto di x minore o uguale a 1/e;

Formula per il calcolo della funzione W, per x maggiore di –1/e (Rob Corless, 2000);

Formula per il calcolo della funzione W, per Valore assoluto di x minore di 1/e (S.D. Poisson, 1823);

Formula che coinvolge la funzione W;

Formula che coinvolge la funzione W;

Formula che coinvolge la funzione W.

 

Alcune proprietà della funzione W:

Con argomenti reali la funzione ha due valori per argomenti nell’intervallo Intervallo aperto da -1/e a zero; per evitare il problema normalmente si aggiunge la condizione W(x) ≥–1;

W(x) è reale per x maggiore o uguale a -1/e;

logW(x) = logxW(x), per x > 0;

Formula per la derivata della funzione W, per z diverso da -1/e;

Formula per l'integrale della funzione W, con c costante arbitraria;

W(x) è trascendente per x algebrico e diverso da zero;

Costante dimostrata trascendente da S. Pollack, soluzione dell’equazione x2 = 2x (v. due), è trascendente (S. Pollack, 1998).

 

Valori particolari:

Valore di W(-π/2)

Valore di W(-1/e)

W(0) = 0;

W(1) = ω ≈ 0.5671432904;

W(e) = 1.

 

La figura mostra una parte del grafico della funzione, con i due rami mostrati in colore diverso..

Grafico della funzione W

La funzione si azzera solo per x = 0 e tende a infinito per x tendente a infinito. Il secondo ramo tende a meno infinito per x tendente a zero.

 

Alle voci espansione di Lehmer, frazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni di W(1).

Vedi anche

ω.

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