Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Docili (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “docili” (il termine inglese è “amenable”) i numeri naturali n tali che esista un insieme di n interi con somma e prodotto uguali a n. Per esempio, per n = 5 abbiamo l’insieme { 5, 1, 1, –1, –1 } e per n = 8 l’insieme { 4, 2, 1, 1, 1, 1, 1, –1, –1 }.

 

I numeri docili sono i multipli di 4 diversi da 4 e i numeri della forma 4k + 1 (H. Tamvakis e O.P. Lossers, 1998). Una soluzione è data da un insieme formato:

  • per n della forma 4k + 1, da 4k + 1, 2k volte 1 e altrettante volte –1;

  • per n della forma 8k, da 4k, 2, 6k – 2 volte 1 e 2k volte –1;

  • per n della forma 8k + 4, da 2k + 1, 2, 2, 6k + 1 volte 1 e 2k volte –1.

 

Il requisito che l’insieme contenga esattamente n numeri è necessario, perché altrimenti qualsiasi numero naturale sarebbe docile, perché come minimo esiste l’insieme { n, 1, 1, –1, – 1 }.

 

I numeri docili costituiscono un insieme chiuso rispetto alla moltiplicazione: il prodotto di due numeri docili è un numero docile.

 

Se ci si limita a insiemi con elementi positivi, ma si rinuncia al requisito che l’insieme abbia esattamente n elementi, esistono insiemi per qualsiasi valore di n composto; per esempio, se n = pq, un insieme del genere è formato da p, q e npq volte 1.

 

Se invece, sempre con insiemi di numeri positivi, si fissa il numero n di elementi e si richiede che somma e prodotto siano uguali, esiste sempre almeno un insieme, formato da 2 volte 2, con somma e prodotto uguali a 4, per n = 2 e da n, 2 e n – 2 volte 1, con somma e prodotto uguali a 2n, per n maggiore di 2.

Curiosamente questo insieme è unico se il numero di elementi è 2, 3, 4, 6, 24, 114, 174 o 444.

Se esiste un altro numero con la stessa proprietà, deve soddisfare requisiti precisi, perché:

  • se n – 1 = pq è composto, esiste l’insieme formato da p + 1, q + 1 e n – 2 volte 1, con somma e prodotto uguali a n + p + q (Michael W. Echer, 2002);

  • se 2n – 1 = pq è composto, esiste l’insieme formato da (p + 1) / 2, (q + 1) / 2, 2 e n – 3 volte 1, con somma e prodotto uguali a n + (p + q) / 2 (Don Reble);

  • se n = 6k + 1, esiste l’insieme formato da 2k + 1, 2 volte 2 e n – 2 volte 1, con somma e prodotto uguali a n + 2k + 3 (Michael W. Echer, 2002);

  • se n = 30k + 12, esiste l’insieme formato da 2k + 1, 4 volte 2 e n – 5 volte 1, con somma e prodotto uguali a n + 2k + 4 (Don Reble).

Queste condizioni insieme indicano che se n è maggiore di 6, deve avere la forma 30k o 30k + 24 e n – 1 dev’essere un primo di Sophie Germain.

Si ritiene che non esista alcun altro valore di n tale che esista un unico insieme di n interi positivi con somma e prodotto uguali; per ora è stato dimostrato che se esiste, è maggiore di 1010 (Michael W. Echer, 2002).

Bibliografia

  • Echer, Michael W.;  "When Does a Sum of Positive Integers Equal Their Product?" in Mathematics Magazine, Vol. 75, N. 1, Febbraio 2002, pag. 41 – 47.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.