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Trisezione dell’angolo (problema della)

Geometria  Problemi  Vari 

Il problema della trisezione dell’angolo consiste nel dividere un angolo generico in tre parti uguali, utilizzando solo riga e compasso, secondo i canoni della geometria greca.

 

Mentre bisecare un angolo con riga e compasso è semplice, i geometri greci si accorsero che trisecarlo, ossia dividerlo in 3 parti uguali, sembrava difficile.

Il problema non è che un caso particolare del problema della suddivisione di un angolo generico in n parti, per qualsiasi numero naturale n; siccome però era il primo caso insoluto e sembrava più semplice degli altri, su questo si concentrarono gli sforzi per oltre due millenni.

 

Il problema generale si potrebbe risolvere se fosse possibile risolverlo per n primo: per n composto, infatti, basterebbe dividere l’angolo in p parti, dove p è uno dei fattori primi di n, e ripetere la suddivisione per i vari fattori primi. Per esempio, ripetendo la suddivisione in 2 parti, è possibile dividere ogni angolo in 2n parti.

Viceversa, se fosse possibile dividere ogni angolo in n, con n composto, sarebbe possibile dividerlo in qualsiasi numero di parti k che sia un divisore di n: in tal caso, infatti, avremmo n = mk e dividendo l’angolo α in n parti, otterremmo l’angolo α / n = α / (m * k); sommandone m copie, avremmo l’angolo α / k (sommare e sottrarre angoli è un’operazione semplice con riga e compasso).

 

Gli angoli di ampiezza m / n * π, con m e n interi, sono trisecabili, se n non è multiplo di 3, anche se non sono costruibili con riga e compasso, salvo in alcuni casi. Il metodo consiste nel sommarne un certo numero, fino a restare con un numero intero di giri più l’angolo desiderato. Per esempio, per trisecare un angolo di 3 / 7 * π, se ne sommano 5, ottenendo un giro completo più un angolo di π / 7, appunto un terzo di quello iniziale. Il metodo funziona solo perché si sa a priori la misura dell’angolo, che è di una forma particolare.

 

Cartesio osservò che la soluzione di ogni equazione di terzo grado si può ricondurre con riga e compasso alla trisezione dell’angolo o alla duplicazione del cubo; vale a dire che a partire dalla soluzione di uno di questi due problemi, con riga e compasso si può poi costruire la soluzione di qualsiasi equazione di terzo grado e quindi risolvere l’altro.

 

Spetta a Pierre-Laurent Wantzel (Parigi, 5/6/1814 – Parigi, 21/5/1848) il merito d’aver definitivamente risolto il problema, caratterizzando con precisione i numeri costruibili e dimostrando nel 1837 che la trisezione dell’angolo equivale alla soluzione di una generica equazione cubica a coefficienti interi, quindi alla costruzione di numeri algebrici di terzo grado.

Tali numeri sono linearmente indipendenti dai numeri costruibili e nessuna sequenza finita delle quattro operazioni e di estrazioni di radice quadrata può produrli, quindi la trisezione di un angolo generico non è costruibile con riga e compasso.

 

Il problema può essere risolto trovando l’intersezione di coniche. Una soluzione di questo tipo si deve ad Apollonio di Perga (Perga, Turchia, 262 a.C. – Alessandria, Egitto, 190 a.C.): si traccia una circonferenza con centro nel vertice O dell’angolo e se ne trovano le intersezioni A e B con i lati dell’angolo. Si traccia quindi un ramo dell’iperbole con eccentricità 2 (ovvero tale che la distanza tra ogni punto e il fuoco sia il doppio della distanza tra il punto e la direttrice corrispondente), che ha per direttrice la bisettrice OC dell’angolo e per fuoco una delle due intersezioni, come mostra la figura seguente.

 

Costruzione di Apollonio per la trisezione dell'angolo

 

Il ramo dell’iperbole interseca la circonferenza in P e l’angolo POC e un terzo dell’angolo AOC; raddoppiandolo si trova l’angolo che è un terzo di AOB.

 

Il problema può essere risolto utilizzando varie altre curve, come il limaçon, la concoide di Nicomede e la quadratrice di Ippia (v. problema della quadratura del cerchio), ma la soluzione più originale è tramite l’origami (v. numeri costruibili).

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