Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule
  3. 3. Valori
  4. 4. Permutazioni k-discordanti

Le funzioni generatrici sono:

  • per i subfattoriali, Funzione generatrice dei subfattoriali;

  • per Sn, k, Funzione generatrice di S(n, k).

 

Le funzioni generatrici esponenziali sono:

  • per i subfattoriali, Funzione generatrice esponenziale dei subfattoriali;

  • per d(n, k), Funzione generatrice esponenziale di d(n, k);

  • per Sn, k, Funzione generatrice esponenziale di S(n, k);

  • per a(n), Funzione generatrice esponenziale di a(n).

 

La tabella seguente mostra i subfattoriali d(n) per n fino a 20.

n

d(n)

0

1

1

0

2

1

3

2

4

9

5

44

6

265

7

1854

8

14833

9

133496

10

1334961

11

14684570

12

176214841

13

2290792932

14

32071101049

15

481066515734

16

7697064251745

17

130850092279664

18

2355301661033953

19

44750731559645106

20

895014631192902121

 

L’unico subfattoriale primo è d(3) = 2.

 

Alcune proprietà modulari dei subfattoriali:

d(n) ≡ 1 – n mod 2, vale a dire che d(n) ha la parità opposta rispetto a n;

d(n) ≡ (–1)n mod n (Christian Aebi e Grant Cairns, 2015);

se p è un primo dispari, d(n) mod p è una funzione periodica con periodo 2p;

se k divide n, d(n) ≡ (–1)n + kd(k) mod k (Romeo Meštrović, 2014);

se p è primo, d(p) ≡ –1 mod p;

se p è primo, d(p – 1) ≡ bp – 1 – 1 mod p, dove bn è l’n-esimo numero di Bell;

se p è primo, Congruenza che coinvolge i subfattoriali.

 

Zhi-Wei Sun e D. Zagier dimostrarono nel 2011 che per ogni primo p e ogni intero m non multiplo di p vale Congruenza che coinvolge i subfattoriali, dove bn è l’n-esimo numero di Bell.

 

Romeo Meštrović dimostrò nel 2014 che le affermazioni che d(p – 1) non sia multiplo di p, per p primo dispari, o che d(n – 1) non sia multiplo di n, per n > 2, sono equivalenti alla congettura di Kurepa.

 

Nel 2012 Zhi-Wei Sun propose le congetture che per n > 1, d(n)^(1 / n) sia strettamente crescente e che per n > 2, d(n + 1)^(1 / (n + 1)) / d(n)^(1 / n) sia strettamente decrescente; l’anno seguente lo stesso Sun, Qing-Hu Hou e Haomin Wen dimostrarono che le congetture sono vere.

 

L’unico intero pari alla somma dei subfattoriali delle sue cifre in base 10 è 148349 = d(1) + d(4) + d(8) + d(3) + d(4) + d(9) = 0 + 9 + 14833 + 2 + 9 + 133496 (J.S. Madachy, 1979). Per altre basi v. numeri curiosi.

 

Le tabelle seguenti mostrano i valori di d(n, k), per n fino a 20 e k fino a 10.

n

d(n, 1)

d(n, 2)

d(n, 3)

d(n, 4)

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

2

0

1

0

0

3

3

0

1

0

4

8

6

0

1

5

45

20

10

0

6

264

135

40

15

7

1855

924

315

70

8

14832

7420

2464

630

9

133497

66744

22260

5544

10

1334960

667485

222480

55650

11

14684571

7342280

2447445

611820

12

176214840

88107426

29369120

7342335

13

2290792933

1145396460

381798846

95449640

14

32071101048

16035550531

5345183480

1336295961

15

481066515735

240533257860

80177752655

20044438050

16

7697064251744

3848532125880

1282844041920

320711010620

17

130850092279665

65425046139824

21808348713320

5452087178160

18

2355301661033952

1177650830516985

392550276838944

98137569209940

19

44750731559645107

22375365779822544

7458455259940905

1864613814984984

20

895014631192902120

447507315596451070

149169105198816960

37292276299704525

n

d(n, 5)

d(n, 6)

d(n, 7)

d(n, 8)

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

2

0

0

0

0

3

0

0

0

0

4

0

0

0

0

5

1

0

0

0

6

0

1

0

0

7

21

0

1

0

8

112

28

0

1

9

1134

168

36

0

10

11088

1890

240

45

11

122430

20328

2970

330

12

1468368

244860

34848

4455

13

19090071

3181464

454740

56628

14

267258992

44543499

6362928

795795

15

4008887883

668147480

95450355

11930490

16

64142201760

10690367688

1527194240

190900710

17

1090417436108

181736238320

25962321528

3245287760

18

19627513841376

3271252308324

467321755680

58415223438

19

372922762997772

62153793831024

8879113408308

1109889169740

20

7458455259939936

1243075876659240

177582268088640

22197783520770

n

d(n, 9)

d(n, 10)

0

0

0

1

0

0

2

0

0

3

0

0

4

0

0

5

0

0

6

0

0

7

0

0

8

0

0

9

1

0

10

0

1

11

55

0

12

440

66

13

6435

572

14

88088

9009

15

1326325

132132

16

21209760

2122120

17

360590230

36056592

18

6490575520

649062414

19

123321027258

12332093488

20

2466420377200

246642054516

 

Le tabelle seguenti mostrano i valori di Sn, k, per n fino a 20 e k fino a 10.

n

Sn, 1

Sn, 2

Sn, 3

Sn, 4

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

2

1

1

0

0

3

4

3

2

0

4

18

14

11

9

5

96

78

64

53

6

600

504

426

362

7

4320

3720

3216

2790

8

35280

30960

27240

24024

9

322560

287280

256320

229080

10

3265920

2943360

2656080

2399760

11

36288000

33022080

30078720

27422640

12

439084800

402796800

369774720

339696000

13

5748019200

5308934400

4906137600

4536362880

14

80951270400

75203251200

69894316800

64988179200

15

1220496076800

1139544806400

1064341555200

994447238400

16

19615115520000

18394619443200

17255074636800

16190733081600

17

334764638208000

315149522688000

296754903244800

279499828608000

18

6046686277632000

5711921639424000

5396772116736000

5100017213491200

19

115242726703104000

109196040425472000

103484118786048000

98087346669312000

20

2311256907767808000

2196014181064704000

2086818140639232000

1983334021853184000

n

Sn, 5

Sn, 6

Sn, 7

Sn, 8

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

2

0

0

0

0

3

0

0

0

0

4

0

0

0

0

5

44

0

0

0

6

309

265

0

0

7

2428

2119

1854

0

8

21234

18806

16687

14833

9

205056

183822

165016

148329

10

2170680

1965624

1781802

1616786

11

25022880

22852200

20886576

19104774

12

312273360

287250480

264398280

243511704

13

4196666880

3884393520

3597143040

3332744760

14

60451816320

56255149440

52370755920

48773612880

15

929459059200

869007242880

812752093440

760381337520

16

15196285843200

14266826784000

13397819541120

12585067447680

17

263309095526400

248112809683200

233845982899200

220448163358080

18

4820517384883200

4557208289356800

4309095479673600

4075249496774400

19

92987329455820800

88166812070937600

83609603781580800

79300508301907200

20

1885246675183872000

1792259345728051200

1704092533657113600

1620482929875532800

n

Sn, 9

Sn, 10

0

0

0

1

0

0

2

0

0

3

0

0

4

0

0

5

0

0

6

0

0

7

0

0

8

0

0

9

133496

0

10

1468457

1334961

11

17487988

16019531

12

224406930

206918942

13

3089233056

2864826126

14

45440868120

42351635064

15

711607724640

666166856520

16

11824686110160

11113078385520

17

207863095910400

196038409800240

18

3854801333416320

3646938237505920

19

75225258805132800

71370457471716480

20

1541182421573625600

1465957162768492800

 

La tabella seguente mostra i valori di a(n) per n fino a 20.

n

a(n)

0

1

1

0

2

0

3

2

4

3

5

24

6

130

7

930

8

7413

9

66752

10

667476

11

7342290

12

88107415

13

1145396472

14

16035550518

15

240533257874

16

3848532125865

17

65425046139840

18

1177650830516968

19

22375365779822562

20

447507315596451051

 

Bibliografia

  • Gardner, Martin;  Enigmi e giochi matematici volume 4º, Firenze, Sansoni, 1975 -

    Traduzione di The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, New York, Simon and Schuster, 1966.

  • Yaglom, A.M.;  Yaglom, I.M.;  Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, New York, Dover, 1987 -

    Traduzione dal russo di Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii (Problemi non elementari e soluzioni elementari), Mosca, Ist. Governativo di stampa per la letteratura tecnico-teorica, 1954. Una splendida raccolta di problemi, generalmente non facili, comparsa per la prima volta in occidente nel 1964 (S. Francisco, Holden-Day Inc., 1964).

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