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Duplicazione del cubo (problema della)

Algebra  Geometria  Problemi  Vari 

Una leggenda narra che i cittadini di Delo si rivolsero all’oracolo di Delfi per far cessare una pestilenza inviata da Apollo, e che l’oracolo rispose di raddoppiare l’altare di Apollo, che era un semplice cubo. Secondo una versione, i cittadini zelanti costruirono un altare di spigolo doppio, senza ottenere alcun effetto e si rivolsero quindi a Platone (Atene, 428/427 a.C. – Atene, 348/347 a.C.), che interpretò il responso come un invito a costruire un altare di volume doppio.

Un cubo di volume doppio ha spigolo lungo Radice cubica di 2 volte il primo, quindi il problema si riduce a costruire un segmento di lunghezza Radice cubica di 2 (detta appunto “costante di Delo”), utilizzando solo riga e compasso, secondo i canoni della geometria classica.

 

Menecmo (Alopeconnesus, Grecia, 380 a.C. – 320 a.C.) risolse il problema utilizzando una parabola e un’iperbole, suscitando lo sedgno di Platone. In termini moderni la soluzione del matematico greco consiste nel trovare l’intersezione tra la parabola y = x2 e l’iperbole xy = 2 nel piano cartesiano; infatti con una sostituzione otteniamo l’equazione x3 = 2 che ha per soluzione x uguale a radice cubica di 2, quindi la coordinata x dell’intersezione è la lunghezza desiderata.

 

Il fatto che si possa ricavare il numero dall’intersezione di due coniche con una semplice proporzione aritmetica accese le speranze di trovare una costruzione con riga e compasso e nei secoli ci furono numerosi tentativi di soluzione, tutti inevitabilmente sbagliati, perché il compito è impossibile.

 

Spetta a Pierre-Laurent Wantzel (Parigi, 5/6/1814 – Parigi, 21/5/1848) il merito d’aver definitivamente risolto il problema, caratterizzando con precisione i numeri costruibili e dimostrando nel 1837 che la radice cubica di 2 non è costruibile, come tutte le radici cubiche di numeri interi che non siano cubi.

 

Se si esce dai rigidi limiti imposti dai canoni greci, il problema può essere risolto con varie curve, come la cissoide di Diocle, la concoide di Nicomede e la quadratrice di Ippia (v. problema della quadratura del cerchio), ma la soluzione più originale è forse quella tramite origami (v. numeri costruibili).

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