Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Pseudoprimi di Chebyshev

Teoria dei numeri 

Se p è un numero primo dispari, Tp(n) ≡ n mod p, dove Tn(x) è l’n-esimo polinomio di Chebyshev di prima specie (T. Bang, 1954); i numeri composti con la stessa proprietà si chiamano “pseudoprimi di Chebyshev”.

 

David Pokrass Jacobs, Mohamed O. Rayes e Vilmar Trevisan dimostrarono nel 2008 che:

  • un numero composto n è uno pseudoprimo di Chebyshev se e solo se è dispari, non multiplo di quadrati e per ogni fattore primo p di n p – 1 divide n – 1 o n + 1 e p + 1 divide n – 1 o n + 1;

  • uno pseudoprimo di Chebyshev è il prodotto di almeno tre primi distinti;

  • se p è dispari e Tp(n) ≡ np mod p, allora p è primo;

  • i numeri di Carmichael di ordine maggiore di 1, e quindi in particolare gli pseudoprimi forti di Dickson rispetto a 1, sono pseudoprimi di Chebyshev.

 

Non tutti gli pseudoprimi di Chebyshev sono numeri di Carmichael di ordine maggiore di 1 o pseudoprimi forti di Dickson rispetto a 1; per esempio, 7056721 non appartiene a nessuna delle ultime due categorie.

 

Gli pseudoprimi di Chebyshev minori di 1017 sono:

7056721 = 7 • 47 • 89 • 241,

79397009999 = 23 • 29 • 41 • 43 • 251 • 269,

443372888629441 = 17 • 31 • 41 • 43 • 89 • 97 • 167 • 331,

582920080863121 = 41 • 53 • 79 • 103 • 239 • 271 • 509,

2491924062668039 = 61 • 71 • 89 • 107 • 131 • 311 • 1483,

14522256850701599 = 17 • 31 • 59 • 83 • 659 • 811 • 10529,

39671149333495681 = 17 • 37 • 41 • 71 • 79 • 97 • 113 • 131 • 191.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.