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Pseudoprimi forti di Dickson

Sequenze  Teoria dei numeri 

Si chiamano “pseudoprimi forti di Dickson” rispetto a Q i numeri composti che sono pseudoprimi di Dickson rispetto a qualsiasi valore di P.

 

Winfried B. Miller e Alan Oswald dimostrarono che:

  • un numero composto n è pseudoprimo forte di Dickson rispetto a –1 se e solo se è un numero di Carmichael e per ogni fattore primo p di n, 2(p + 1) divide n – 1 o np;

  • se n è pseudoprimo forte di Dickson rispetto a –1 e n ≡ 1 mod 4, n ha almeno 4 fattori primi distinti;

  • se n è pseudoprimo forte di Dickson rispetto a –1 e n ≡ 3 mod 4, n ha almeno 5 fattori primi distinti;

  • un numero di Carmichael della forma Forma di numeri di Carmichael che non sono pseudoprimi forti di Dickson non è pseudoprimo forte di Dickson rispetto a –1;

  • un intero composto n è pseudoprimo forte di Dickson rispetto a 1 se e solo se non è multiplo di quadrati e per ogni fattore primo p di n, p – 1 divide n – 1 o np e p + 1 divide n – 1 o np; di conseguenza ogni pseudoprimo forte di Dickson rispetto a –1 è anche pseudoprimo forte di Dickson rispetto a 1.

 

Gli pseudoprimi forti di Dickson rispetto a –1 sono pseudoprimi super forti di Dickson.

 

Gli pseudoprimi forti di Dickson rispetto a 0 sono i numeri di Carmichael.

 

Gli pseudoprimi forti di Dickson rispetto a 1 sono numeri di Carmichael di ordine 2.

 

I minimi pseudoprimi forti di Dickson rispetto a –1 sono:

443372888629441 = 17 • 31 • 41 • 43 • 89 • 97 • 167 • 331,

39671149333495681 = 17 • 37 • 41 • 71 • 79 • 97 • 113 • 131 • 191,

842526563598720001 = 17 • 61 • 71 • 89 • 197 • 311 • 769 • 2729.

Si conoscono però varie decine di esempi molto maggiori, come:

97723892848682923994567734100095132801 = 59 • 67 • 71 • 79 • 89 • 101 • 113 • 191 • 233 • 239 • 307 • 349 • 379 • 911 • 2089 • 5279 (Everett W. Howe, 2000),

4924827541614265513589667769108860614401 = 31 • 37 • 101 • 103 • 109 • 199 • 419 • 449 • 521 • 571 • 911 • 2089 • 2551 • 5851 • 11969 (Everett W. Howe, 2000),

16075771355347638016980686030521098019201 = 41 • 67 • 79 • 181 • 199 • 233 • 239 • 307 • 449 • 521 • 1217 • 1871 • 4159 • 5851 • 9281 (Everett W. Howe, 2000),

69560845369554955388165088342528866719334401 = 23 • 43 • 59 • 61 • 79 • 89 • 113 • 131 • 151 • 191 • 307 • 311 • 373 • 419 • 433 • 463 • 701 • 1217 • 2551 (Everett W. Howe, 2000),

112788094121852627374401548507449628984140801 = 23 • 53 • 59 • 79 • 89 • 101 • 109 • 113 • 131 • 181 • 199 • 233 • 307 • 349 • 433 • 701 • 911 • 1217 • 4523 (Everett W. Howe, 2000),

1717985169415387463787686933915303091226840473601 = 41 • 43 • 53 • 61 • 89 • 103 • 113 • 151 • 191 • 311 • 349 • 373 • 419 • 433 • 463 • 521 • 571 • 701 • 929 • 15313 (Everett W. Howe, 2000),

28428267389677772376959914325492376114874620587020801 = 61 • 67 • 71 • 89 • 101 • 103 • 113 • 151 • 181 • 191 • 199 • 233 • 239 • 271 • 307 • 419 • 463 • 521 • 571 • 701 • 911 • 5279 (Everett W. Howe, 2000),

392000251605356793349050844538065236557716721692385776886401 = 23 • 67 • 71 • 89 • 109 • 113 • 191 • 199 • 233 • 239 • 271 • 307 • 373 • 419 • 521 • 911 • 929 • 1153 • 1217 • 1429 • 2089 • 2729 • 23561 (Everett W. Howe, 2000),

2706440581932960270059556320865135299543027488341564061948937275059222956610372230689798686533299112388959963299201 = 23 • 37 • 43 • 53 • 59 • 61 • 67 • 71 • 89 • 103 • 109 • 113 • 131 • 181 • 191 • 199 • 239 • 271 • 311 • 373 • 379 • 419 • 433 • 463 • 521 • 683 • 701 • 911 • 929 • 991 • 1153 • 1429 • 2089 • 2551 • 3191 • 4159 • 5279 • 11969 • 15809 • 23561 • 23869 • 244529 (Everett W. Howe, 2000).

 

Gli pseudoprimi forti di Dickson rispetto a 1 minori di 1017 sono:

443372888629441 = 17 • 31 • 41 • 43 • 89 • 97 • 167 • 331,

582920080863121 = 41 • 53 • 79 • 103 • 239 • 271 • 509,

39671149333495681 = 17 • 37 • 41 • 71 • 79 • 97 • 113 • 131 • 191.

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