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Quasi iperperfetti (numeri)

Teoria dei numeri 

I numeri iperperfetti sono i numeri naturali uguali a un multiplo della somma dei divisori propri escluso uno, più uno; i numeri quasi iperperfetti sono i numeri naturali uguali a un multiplo della somma dei divisori propri escluso uno e un altro divisore, più uno; vale a dire i numeri naturali che sono k-iperperfetti, se si esclude un divisore. Per esempio, i divisori propri di 63 sono 1, 3, 9, 7 e 21 e 63 è uguale a due volte la somma di questi, escludendo 1 e 9, più 1. Il divisore escluso dalla somma si dice “ridondante”.

 

Una definizione alternativa è che un numero naturale n è quasi k-iperperfetto se n = 1 + k(σ(n) – 1 – dn), dove d è un divisore di n.

 

Per k = 1 abbiamo i numeri quasi perfetti.

Per k > 1 i numeri quasi iperperfetti sono deficienti.

 

Nessun numero quasi iperperfetto è primo o potenza di un primo.

 

Bhabesh Das e Helen K. Saikia dimostrarono nel 2016 che:

  • un intero della forma pmq, con q e p primi distinti è quasi (p – 1)-iperperfetto con divisore ridondante pk se e solo se q = pm + 1 – (p – 1)(pk + 1), con km; per esempio, per p = 5, m = 4 e k = 3 abbiamo q = 2621 e il numero quasi 4-iperperfetto 542621 = 1638125 con divisore ridondante 53 = 125;

  • se p e q sono primi e q = pmp + 1, pmq, è quasi (p – 1)-iperperfetto con divisore ridondante pm; per esempio, per p = 3 e m = 4 abbiamo q = 79 e il numero quasi 2-iperperfetto 3479 = 6399 con divisore ridondante 34 = 81;

  • se p e q sono primi e q = pm + 1p + 1, pmq2 è quasi (p – 1)-iperperfetto con divisore ridondante q; per esempio, per p = 3 e m = 4 abbiamo q = 79 e il numero quasi 2-iperperfetto 34792 = 168507 con divisore ridondante 79.

 

Sfruttando questi teoremi, i due matematici trovarono i seguenti numeri quasi k-iperperfetti.

k

Numeri quasi k-iperperfetti

2

63 = 32 • 7,

147 = 3 • 72,

171 = 32 • 19,

1647 = 33 • 61,

1971 = 33 • 73,

6399 = 34 • 79,

18063 = 34 • 223,

58563 = 35 • 241,

163539 = 35 • 673,

168507 = 33 • 792,

172287 = 35 • 709,

529983 = 36 • 727,

1238571 = 36 • 1699,

1553499 = 36 • 2131,

1588491 = 36 • 2179,

4704561 = 34 • 2412,

11155887 = 37 • 5101,

13281651 = 37 • 6073,

13990239 = 37 • 6397,

14331411 = 37 • 6553,

100429227 = 38 • 15307,

119561103 = 38 • 18223,

128432547 = 35 • 7272,

387381123 = 39 • 19681,

1076128659 = 39 • 54673,

1161867807 = 39 • 59029,

9685394127 = 310 • 164023,

10374141663 = 310 • 175687,

10450669167 = 310 • 176983,

10457046459 = 310 • 177091,

10459172223 = 310 • 177127,

93884544207 = 311 • 529981,

847258848747 = 312 • 1594267,

846512705583 = 312 • 1592863,

659001188907 = 312 • 1240027,

2541349293921 = 38 • 196812,

7562832177123 = 313 • 4743601,

7618620727539 = 313 • 4778593,

7625508202899 = 313 • 4782913,

7625584730403 = 313 • 4782961,

68442081441291 = 314 • 14309539,

480412612856367 = 315 • 33480781,

617666394017331 = 315 • 43046233,

4323713687894187 = 316 • 100442347,

5558495621389119 = 316 • 129127039,

5559058155939147 = 316 • 129140107,

46325504463015699 = 317 • 358722673,

50016293645749407 = 317 • 387302389,

50026461109062723 = 317 • 387381121,

50031537867150579 = 317 • 387420433,

50031482078600163 = 317 • 387420001,

350220814918156971 = 318 • 903981139,

449048558323588491 = 318 • 1159072819,

450283898142587583 = 318 • 1162261447,

4051319803901885439 = 319 • 3485721517,

4052554962408095679 = 319 • 3486784237,

4052555129773746927 = 319 • 3486784381,

4052555143720884531 = 319 • 3486784393

4

2525 = 52 • 101,

65125 = 53 • 521,

75125 = 53 • 601,

1638125 = 54 • 2621,

9753125 = 55 • 3121,

41003125 = 55 • 13121,

47253125 = 55 • 15121,

48753125 = 55 • 15601,

1212828125 = 56 • 77621,

1220328125 = 56 • 78101,

6087900625 = 54 • 31212,

6103203125 = 57 • 78121,

25634453125 = 57 • 328121,

758055078125 = 58 • 1940621,

762930078125 = 58 • 1953101,

640867578125 = 58 • 1640621,

18951408203125 = 59 • 9703121,

19068595703125 = 59 • 9763121,

10013580126953125 = 511 • 205078121,

11920318408203125 = 511 • 244128121,

11920923876953125 = 511 • 244140521,

11920927783203125 = 511 • 244140601,

250339507080078125 = 512 • 1025390621,

296115874267578125 = 512 • 1212890621,

7402896876220703125 = 513 • 6064453121,

7450199122314453125 = 513 • 6103203121,

7450565333251953125 = 513 • 6103503121

6

2107 = 72 • 43,

12943 = 7 • 432,

115591 = 73 • 337,

5564881 = 72 • 3372,

40238359 = 74 • 16759,

1735104259 = 75 • 103237,

13840581307 = 76 • 117643,

96646182871 = 76 • 821479,

96853715707 = 76 • 823243,

4664508845479 = 77 • 5663953,

4735692608227 = 77 • 5750389,

4747314447043 = 77 • 5764501,

1628413355788807 = 79 • 40353601,

11394825604814407 = 79 • 282374401,

11398313609189059 = 79 • 282460837,

558541793049995419 = 710 • 1977312331

10

1758251 = 113 • 1321,

17863351 = 113 • 13421,

211149961 = 112 • 13212,

4177245830955131 = 117 • 214358761

12

26533 = 132 • 157,

320437 = 13 • 1572,

342901 = 132 • 2029,

62379421 = 133 • 28393,

815387989 = 134 • 28549,

9851174437 = 134 • 344917,

10546234933 = 134 • 369253,

137854036333 = 135 • 371281,

1790654745997 = 133 • 285492,

1792098016813 = 135 • 4826641,

23298027200773 = 136 • 4826797,

3937121881827121 = 134 • 3712812,

8650372907585347237 = 135 • 48267972

16

408923729 = 173 • 83233,

2862421147538373073 = 177 • 6975752801,

2862422933332277969 = 177 • 6975757153

18

46922419 = 193 • 6841,

16981217263 = 194 • 130303,

306595660699 = 194 • 2352619,

321838526143 = 194 • 2469583,

6131021688019 = 195 • 2476081,

39956157955263259 = 196 • 849301939,

22

1726240345127 = 234 • 6168647,

951086774638199 = 235 • 147768193

28

19804709 = 292 • 23549

30

886609951 = 313 • 29761,

27484014751 = 313 • 922561,

819627428106271 = 315 • 28629121,

25382889306407071 = 315 • 886609921,

24417545445441508831 = 316 • 27512613151

36

92433671173 = 373 • 1824841,

129959175942829 = 374 • 69342589

40

4747347401 = 413 • 68881,

13422654675904361 = 415 • 115856161,

537233749706241961 = 415 • 4637073761,

550328837077830761 = 415 • 4750102561

42

143591491 = 432 • 77659,

265640917207 = 433 • 3341101,

271671682171 = 433 • 3416953,

11688056687959 = 434 • 3418759,

491176086680707 = 434 • 143669107,

929293467799620043 = 435 • 6321361201

46

496068474283 = 473 • 4778021,

52599121685959727 = 475 • 229344961,

2472158708690236847 = 475 • 10779213121

 

Bhabesh Das e Helen K. Saikia avanzarono la congettura che tutti i numeri quasi iperperfetti con due fattori primi distinti siano di una delle forme da loro individuate.

 

Resta aperta la questione dell’esistenza di numeri quasi k-iperperfetti per qualsiasi valore di k; l’unico valore di k dispari per il quale si conoscano numeri quasi k-iperperfetti, a parte il caso banale 1, è 3, il minimo valore pari per il quale non se ne conoscano è 26.

 

La tabella seguente riporta i numeri quasi k-iperperfetti minori di 106; tra parentesi il divisore ridondante.

k

Numeri quasi k-iperperfetti

2

63 (9),

147 (7),

171 (3),

627 (19),

663 (13),

1647 (9),

1971 (3),

6399 (81),

18063 (9),

27639 (37),

40215 (13405),

48895 (385),

58563 (243),

78819 (43),

95511 (93),

114231 (13),

133595 (55),

134871 (61),

145915 (7),

163539 (27),

168507 (79),

172287 (9),

188067 (139),

529983 (729),

680859 (151),

795639 (13)

3

76 (38),

8308 (4154),

23092 (11546)

4

245 (35),

2405 (185),

2525 (5),

5621 (77),

7525 (1505),

21965 (191),

22477 (1183),

25949 (11),

27181 (7),

65125 (25),

75125 (5),

491029 (10021)

6

2107 (49),

2431 (187),

12943 (43),

114103 (943),

115591 (343),

188839 (7)

8

873 (291),

90761 (37),

209033 (613),

256841 (13)

10

6851 (527),

9191 (1313),

79651 (6127),

111911 (17),

120791 (1529),

367211 (611),

923791 (613),

932591 (149)

12

23125 (4625),

26533 (169),

320437 (157),

342901 (13),

630853 (863)

14

127415 (25483)

16

67697 (9671)

18

210043 (47)

20

615181 (87883),

695221 (3841)

24

623065 (124613)

28

363413 (19127),

678973 (73),

785261 (10757)

34

6223 (889),

103259 (7943)

38

43055 (8611),

68971 (9853)

44

70445 (14089)

46

42091 (6013),

526103 (14219)

48

131761 (18823)

50

766351 (24721)

56

939401 (13231)

66

164143 (23449)

76

226709 (32387),

328853 (46979)

88

656393 (34547)

102

707371 (101053)

104

411321 (137107)

106

433223 (61889)

174

133807 (7871)

 

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