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Quasi iperperfetti deficienti (numeri)

Teoria dei numeri 

I numeri quasi k-iperperfetti deficienti sono i numeri naturali ai quali manca un divisore per essere k-iperperfetti. Per esempio, i divisori propri di 35 sono 1, 5 e 7 e 35 è uguale a due volte la somma di questi, escludendo 1 e aggiungendo ancora 5, più 1.

 

Una definizione alternativa è che un numero naturale n è quasi k-iperperfetto deficiente, se n = 1 + k(σ(n) – 1 + dn), dove d è un divisore di n.

 

Per k = 1 abbiamo i numeri quasi perfetti deficienti.

Per qualsiasi valore di k i numeri quasi iperperfetti deficienti sono deficienti.

 

Bhabesh Das e Helen K. Saikia dimostrarono nel 2016 che:

  • se p e q sono primi e q = pm + 1 + (p – 1)pkp + 1, con km, pmq, è quasi (p – 1)-iperperfetto deficiente con divisore mancante pk; per esempio, per p = 5, m = 3, k = 1 abbiamo q = 641 e il numero quasi 4-iperperfetto deficiente 80125 con divisore mancante 5;

  • se p e q sono primi dispari distinti, tali che k(p + 2q) = pq – 1, pq è quasi (k – 1)-iperperfetto deficiente con divisore mancante q; per esempio, per p = 7, k = 2 e q = 5 abbiamo e il numero quasi 2-iperperfetto deficiente 35 con divisore mancante 5.

 

Sfruttando questi teoremi, i due matematici trovarono i seguenti numeri quasi k-iperperfetti deficienti:

k

Numeri quasi k-iperperfetti deficienti

2

35 = 5 • 7,

39 = 3 • 13,

279 = 32 • 31,

387 = 32 • 43,

2619 = 33 • 97,

178119 = 35 • 733,

294759 = 35 • 1213,

1605987 = 36 • 2203,

1632231 = 36 • 2239,

1710963 = 36 • 2347,

1947159 = 36 • 2671,

14383899 = 37 • 6577,

17533179 = 37 • 8017,

129166407 = 38 • 19687,

129245139 = 38 • 19699,

130189923 = 38 • 19843,

138692979 = 38 • 21139,

215220483 = 38 • 32803,

1165410747 = 39 • 59209,

1248315543 = 39 • 63421,

1420502427 = 39 • 72169,

10546328547 = 310 • 178603,

94146013179 = 311 • 531457,

156904943751 = 311 • 885733,

847297112499 = 312 • 1594339,

847545826887 = 312 • 1594807,

1412146619523 = 312 • 2657203,

7646515002747 = 313 • 4796089,

68630453892387 = 314 • 14348923,

68693129918163 = 314 • 14362027,

69195226871907 = 314 • 14467003,

114383952708867 = 314 • 23914843,

5560755057680967 = 316 • 129179527,

50443327104908679 = 317 • 390609133,

83385908240052519 = 317 • 645700813,

450284469975229347 = 318 • 1162262923,

461402026249267431 = 318 • 1190959279,

550346995314155799 = 318 • 1420541791,

4063673271827564379 = 319 • 3496350337

4

205 = 5 • 41,

80125 = 53 • 641,

2013125 = 54 • 3221,

48878125 = 55 • 15641,

56628125 = 55 • 18121,

1259703125 = 56 • 80621,

30525078125 = 57 • 390721,

30712578125 = 57 • 393121,

54931328125 = 57 • 703121,

787351953125 = 58 • 2015621,

19097892578125 = 59 • 9778121,

19195548828125 = 59 • 9828121,

492095908203125 = 510 • 50390621,

307559966064453125 = 512 • 1259765621,

7450595850830078125 = 513 • 6103528121,

7450656885986328125 = 513 • 6103578121,

7498264307861328125 = 513 • 6142578121,

7688999171142578125 = 513 • 6298828121

6

18571 = 72 • 379,

30919 = 72 • 631,

835891 = 73 • 2437,

922327 = 73 • 2689,

40440043 = 74 • 16843,

45280459 = 74 • 18859,

96922893319 = 76 • 823831,

98583156007 = 76 • 837943,

5328890631127 = 77 • 6470689,

232642343358859 = 78 • 40355659,

11398906807211959 = 79 • 282475537,

558549931726869607 = 710 • 1977341143

10

306251 = 112 • 2531,

19620271 = 113 • 14741,

37189471 = 113 • 27941,

2375516891 = 114 • 162251

4501390091 = 114 • 307451

308889537011 = 115 • 1917961

4180101091250051 = 117 • 214505281,

4522475095983251 = 117 • 232074481,

509244524691537371 = 118 • 2375663291

12

4069 = 13 • 313,

395629 = 132 • 2341,

67177669 = 133 • 30577,

1792213860229 = 135 • 4826953,

302884837439197 = 136 • 62750533,

303002302663021 = 136 • 62774869,

51187546563010741 = 137 • 815757073,

51207398185836997 = 137 • 816073441,

98434408889500021 = 137 • 1568712913

16

2751569 = 172 • 9521,

411596401 = 173 • 83777,

432977777 = 173 • 88129,

34383485708977 = 175 • 24216161

18

4815379 = 192 • 13339,

322729921783 = 194 • 2476423

338775043303 = 194 • 2599543,

116506304019739 = 195 • 47052361

42058790993991223 = 196 • 893995183

22

23299 = 23 • 1013,

3546157319 = 233 • 291457,

6661347331 = 233 • 547493,

952812873103939 = 235 • 148036373,

954532457990563 = 235 • 148303541

28

14523781224989 = 294 • 20534669,

12200992187930309 = 295 • 594846841

10272408498835954829 = 296 • 17269680149

30

57691 = 31 • 1861,

27539426011 = 313 • 924421,

26440453329571 = 314 • 28630051,

49997324646954331 = 315 • 1746378181

36

71118181 = 372 • 51949,

136764469 = 372 • 99901,

97426436077 = 373 • 1923409,

187296204349 = 373 • 3697633,

133379219902069 = 374 • 71167429

42

155359 = 43 • 3613,

502598642701807 = 434 • 147010207,

502857965595259 = 434 • 147086059,

993496880006443 = 434 • 290598043

46

453708719 = 472 • 205391,

1002462249739 = 473 • 9655493

 

Resta aperta la questione dell’esistenza di numeri quasi k-iperperfetti deficienti per qualsiasi valore di k; non si conoscono numeri quasi k-iperperfetti con k dispari, a parte il caso banale 1; il minimo valore pari per il quale non se ne conoscano è 32.

 

La tabella seguente riporta i numeri quasi k-iperperfetti deficienti minori di 106; tra parentesi il divisore mancante (M. Fiorentini, 2017).

k

Numeri quasi k-iperperfetti deficienti

2

35 (5),

39 (3),

55 (11),

279 (3),

387 (9),

715 (65),

1443 (37),

2619 (9),

3655 (731),

5635 (245),

10855 (2171),

12635 (665),

77283 (277),

178119 (3),

294759 (243),

443135 (1151),

817167 (23)

4

133 (7),

205 (5),

6461 (13),

18685 (101),

19685 (31),

31493 (7),

80125 (5),

90005 (1915)

6

1027 (79),

3751 (121),

18571 (7),

30919 (49),

76867 (79),

473671 (17),

835891 (7),

886567 (121),

922327 (49)

8

649 (11),

2329 (137),

72761 (377),

348841 (15167),

499529 (26291)

10

62651 (1333),

117611 (13),

306251 (121),

578071 (839)

12

1189 (29),

4069 (13),

63829 (29),

103501 (1247),

395629 (13)

14

99499 (47),

694583 (4997)

16

2993 (73),

123281 (43),

230609 (31)

18

599923 (3973)

20

7061 (23),

33661 (821)

22

4819 (79),

23299 (23)

26

14587 (29),

593347 (137)

30

57691 (31),

111691 (1831)

34

31043 (37)

38

18659 (47),

42599 (41)

40

15481 (137)

42

155359 (43)

44

348613 (3917)

48

49969 (467),

451729 (4657)

50

510151 (5051)

52

73789 (653)

56

29177 (179),

129977 (59),

715177 (6329)

60

39421 (79),

61021 (439),

446581 (61)

62

60079 (73)

70

48791 (97),

63491 (367),

72311 (433),

97091 (79),

248711 (73),

705811 (71)

72

767449 (73)

74

202687 (1291)

76

316237 (79)

80

69841 (331)

84

244693 (1367)

92

74429 (263),

93749 (389),

151709 (719),

177469 (103),

380789 (1973)

94

82063 (137),

589663 (97)

98

666499 (101)

100

86701 (277)

106

839627 (109)

108

173989 (677)

110

936431 (113)

114

592003 (2477)

124

124373 (277),

910037 (3541)

128

133249 (227)

130

303811 (149)

136

990217 (3499)

140

238981 (677)

144

191377 (211)

146

323683 (173)

154

189883 (317),

200047 (251)

180

416341 (223)

182

387479 (233),

847939 (199)

190

302671 (313),

821371 (1951)

206

499963 (263)

218

383899 (397)

222

394939 (463)

234

528607 (331)

248

518569 (641)

250

518251 (421),

826751 (307),

998251 (293)

254

533147 (431)

260

624781 (821)

268

729229 (367)

276

982837 (1439)

326

944423 (953)

330

872191 (683),

959311 (947)

 

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