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Superfattoriali (I)

Teoria dei numeri 

L’n-esimo superfattoriale S(n) è il prodotto dei fattoriali da 0! a n!: Formula per la definizione dei superfattoriali.

 

Formula per il calcolo dei superfattoriali, dove H(n) è l’iperfattoriale di n.

 

Asintoticamente S(n + 1) tende a Limite asintotico cui tende S(n), dove A è la costante di Glaisher – Kinkelin; un limite equivalente è Limite asintotico cui tende S(n).

 

Il determinante di una matrice quadrata (n + 1) × (n + 1) costruita disponendo i numeri di Bell da b0 a b2n lungo diagonali, quindi avente come elemento sulla riga r e colonna s il numero di Bell br + s, è S(n) vale a dire Matrice contenente numeri di Bell (Andrew Lenard). Per esempio, nel caso n = 3 abbiamo Matrice contenente numeri di Bell.

 

Se p è primo, il determinante di una matrice quadrata p × p, avente sulla riga n–esima le potenze n-esime degli interi da 1 a p – 1 è S(p – 1), vale a dire Matrice contenente potenze di interi (Christian Aebi e Grant Cairns, 2015).

 

Se p è primo, S(p – 1)4 ≡ 1 mod p.

 

Il teorema analogo al teorema di Wilson (v. fattoriali) per i superfattoriali afferma che se p è un primo dispari, Congruenza che coinvolge i superfattoriali, dove H(n) è l’iperfattoriale di n (Christian Aebi e Grant Cairns, 2015); per il calcolo dei valori v. fattoriali doppi.

 

La tabella seguente mostra S(n) per n fino a 20.

n

S(n)

0

1

1

1

2

2

3

12

4

288

5

34560

6

24883200

7

125411328000

8

5056584744960000

9

1834933472251084800000

10

6658606584104736522240000000

11

265790267296391946810949632000000000

12

127313963299399416749559771247411200000000000

13

792786697595796795607377086400871488552960000000000000

14

69113789582492712943486800506462734562847413501952000000000000000

15

90378331112371142262979521568630736335023247731599748366336000000000000000000

16

1890966832292234727042877370627225068196418587883634153182519380410368000000000000000000000

17

672593129192865130334217631473916658864122332882577979675277211683839238972899328000000000000000000000000

18

4306192564997715382115598640379294845786123319603755168023536027873932927153136831171640950784000000000000000000000000000

19

523827226948912906162136183269887782788685420217963126789982275317725639664591791615428617583779071590924288000000000000000000000000000000

20

1274420312381610764187232669591245728094053576480399681464607478621086015845192873311847341571189522511934190056991170232320000000000000000000000000000000000

 

Come la funzione Γ generalizza i fattoriali, estendendone il calcolo a valori reali dell’argomento, anche i superfattoriali possono essere estesi ad argomenti reali e addirittura complessi: Formula per il calcolo dei superfattoriali.

 

La funzione Γ ha un valore particolare, esprimibile tramite costanti elementari, per argomento 1 / 2: Γ(1 / 2); i superfattoriali si comportano analogamente, anche se l'espressione è meno semplice: S(1 / 2) dove A è la costante di Glaisher – Kinkelin.

 

O. Hölder (1886), W. Alexeiewsky (1894), e E.W. Barnes (1900) utilizzarono i superfattoriali in una formula per l’integrale di log(Γ(x)): Formula per l'integrale di log(Γ(x)).

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